Trigonometria

Fő kategória: matek.

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}\DeclareMathOperator{\arccsc}{arccsc}$

Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, és annak egy, a derékszögtől eltérő szögét, pl. az alábbi módon:
haromszog.png

Az alábbi szögfüggvényeket definiáljuk:

  • Szinusz ($\sin\alpha$): a szöggel szembeni befogó és az átfogó hányadosa.
  • Koszinusz ($\cos\alpha$): a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.
  • Tangens ($\tan\alpha$ vagy $\tg\alpha$): a szöggel szembeni befogó és a szög melletti befogó hányadosa.
  • Kotangens ($\cot\alpha$ vagy $\ctg\alpha$): a szög melletti befogó és a szöggel szembeni befogó hányadosa, ez tehát a tangens reciproka.
  • Szekáns ($\sec\alpha$): az átfogó és a szög melletti befogó hányadosa, ez tehát a koszinusz reciproka.
  • Koszekáns ($\csc\alpha$): az átfogó és a szöggel szembeni befogó hányadosa, ez tehát a szinusz reciproka.

Az egyes függvények kinézete $0$ és $2\pi$ között az alábbi (ez végtelenszer ismétlődik):

trigonfv.gif

Néhány gyakrabban előforduló szög szögfüggvényeinek értékeit az alábbi táblázat foglalja össze.

Radián $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$
Fok 30° 45° 60° 90°
$\sin$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
$\tan$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $\infty$
$\cot$ $\infty$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$
$\sec$ $1$ $\frac{2\cdot\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{2}$ $2$ $\infty$
$\csc$ $\infty$ $2$ $\sqrt{2}$ $\frac{2\cdot\sqrt{3}}{3}$ $1$

Az alábbi ábra a teljes kördiagram legfontosabb szögeinek koszinusz és szinusz értékeit ábrázolja:

kordiagram.svg

Mindegyik függvénynek van inverze, amely tehát az eredményből határozza meg a szöget:

  • Arkusz-szinusz ($\arcsin x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek szinusza $x$. Ha $-1 \le x \le 1$, akkor végtelen sok megoldása van; a $-\frac{\pi}{2}$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-koszinusz ($\arccos x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek koszinusza $x$. Ha $-1 \le x \le 1$, akkor végtelen sok megoldása van; a $0$ és $\pi$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-tangens ($\arctan x$ vagy $\arctg x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek tangense $x$. Itt az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $-\frac{\pi}{2}$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-kotangens ($\arccot x$ vagy $\arcctg x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek kotangense $x$. Itt is az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $0$ és $\pi$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-szekáns ($\arcsec x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek szekánsa $x$. Itt $x \le -1$ vagy $x \ge 1$, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $0$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti ill. $\frac{\pi}{2}$ és $\pi$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-koszekáns ($\arccsc x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek koszekánsa $x$. Itt is $x \le -1$ vagy $x \ge 1$, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $-\frac{\pi}{2}$ és $0$ közötti ill. $0$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti megoldást szokás megadni.

Ábrázolásakor a következő konvenciókat alkalmazzuk:

  • Az átfogó egységnyi hosszú.
  • Az $\alpha$ szög csúcsa az origó.
  • A szög melletti befogó az x-koordinátán van.
  • A 0° maga az x-koordináta, az origótól jobbra, és az óramutató járásával ellenkező irányba nő.

A legfontosabb összefüggések az alábbiak (ezeket érdemes megjegyezni):

  • $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$
  • $\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$
  • $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
  • $\tan\alpha\cot\alpha = 1$
  • $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

További összefüggések (referenciaként):

  • Két szög összegének ill. különbségének összefüggései:
    • $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta \pm \cos\alpha\cdot\sin\beta$
    • $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta \pm \sin\alpha\cdot\sin\beta$
    • $\tan(\alpha\pm\beta) = \frac{tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\cdot\tan\beta}$
    • $\cot(\alpha\pm\beta) = \frac{cot\alpha \pm \cot\beta \mp 1}{\cot\beta\ \pm cot\alpha}$
  • Két szögfüggvény összegének ill. különbségének szorzattá alakítása:
    • $\sin\alpha \pm \sin\beta = 2\cdot\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac{\alpha\mp\beta}{2}$
    • $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\cos\alpha - \cos\beta = -2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
    • $\tan\alpha \pm \tan\beta = \frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$
    • $\cot\alpha \pm \cot\beta = \frac{\sin(\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$
  • Kétszeres szögek összefüggései:
    • $\sin 2\alpha = 2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$
    • $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$
    • $\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
    • $\cot 2\alpha = \frac{\ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}$
  • Félszögek összefüggései:
    • $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$
    • $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$
    • $\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$
    • $\cot\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$

Tetszőleges háromszögre, ahol az oldalak hosszai $a$, $b$ és $c$, a velük szemközti szögek jelölése pedig $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$, érvényesek az alábbi összefüggések:

  • Szinusztétel: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$, ami egyébként a háromszög köré írt kör sugarával egyezik meg.
  • Koszinusztétel: $c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot\cos\gamma$
  • Tangenstétel: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}$
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License