Fő kategória: matek.

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}\DeclareMathOperator{\arccsc}{arccsc}$

Alapműveletek

A szokásos négy alapművelet az összeadás ($a+b$), a kivonás ($a-b$), a szorzás ($a\cdot b$, néha $a*b$) és az osztás ($a:b$, $a/b$ vagy $\frac{a}{b}$, esetleg $a\div b$). Ez utóbbi esetben beszélhetünk egész számok esetén maradékos osztásról (gyakori jelölése $a \% b$), melyben az osztás egész eredményére és a maradékra vagyunk kíváncsiak. Sőt, vannak feladatok, melyhez csak a maradékra van szükségünk.

Faktoriális

A szorzás egy speciális esete az, amikor egész számokat szorzunk 1-től egy adott számig, melyet általában $n$-nel jelölünk. Ezt a műveletet faktoriálisnak nevezzük és $!$ jellel jelöljük. Pl.:

$5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$

A faktoriális egyébként elég gyorsan "elszáll", pl. $20! = 2.432.902.008.176.640.000$.

Definíció szerint $0! = 1$

Logaritmus és exponenciális

Ez szintén a szorzással kapcsolatos: ha egy adott számot önmagával szorzunk többször, akkor használjuk az exponenciális műveletet. Jelölése: a kitevőben írjuk azt, hogy hányszor szeretnénk összeszorozni ad adott számot önmagával, pl. az $a^n$ azt jelenti, hogy $a\cdot a\cdot …a$, ahol az $a$ összesen $n$-szer szerepel. Pl.:

$2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8$

Tetszőleges nem 0 szám nulladik hatványa egyet ad eredményül:

$x^0 = 1$

Negatív hatványkitevő inverzet jelent, pl.:

$x^{-1} = \frac{1}{x}$
$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Ha a kitevő $0,5$, akkor az gyökvonást jelent:

$x^{0,5} = \sqrt{x}$

A $0^0$ önmagában nem értelmezett (hasonlóan a $\frac{0}{0}$-hoz), így ez egyes sorozatokat tartalmazó feladatok "kedvence".

Exponenciális azonosságok:

• $x^m\cdot x^n = x^{m+n}$
• $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
• $(x^m)^n = x^{m\cdot n}$

Ez egyben mutatja az exponenciális számítási mód lehetőségeit: szorzás helyett összeadás, osztás helyett kivonás és hatványozás helyett szorzás van, ami jelentősen egyszerűsíti a műveleteket. Ezt a tulajdonságát számos esetben ki is hazsnálják, pl. az elektronikában.

A logaritmus az exponenciális inverz művelete: itt az alap és az eredmény az adott, és a kitevőt keressük. Pl. ha $a^b=c$, akkor $\log_a c = b$. Itt az $a$-t alapnak hívjuk. Az előző példát folytatva:

$\log_2 8 = 3$

Ezt így olvassuk: kettes alapú logaritmus nyolc egyenlő három (mert kettő a köbön az nyolc).

Sem az alap, sem az a szám aminek a logaritmusát keressük, nem lehet negatív, valamint az alap nem lehet 1. Az alap ezektől eltekintve elvileg bármi lehet, ám az alábbi három érték a leggyakoribb:

• $e$: ez az Euler-szám, melynek közelítő értéke 2,71. Jelölése $\ln$.
• $10$: ez arra ad választ, hogy ha egy szám egyessel kezdődik, és utána csak 0 van, akkor hány 0 van a számban.
• $2$: a számítástechnika elterjedésével ez a leggyakoribb, és arra ad választ, hogy egy adat hány biten fér el. Gyakori jelölése $\lg$.

Logaritmikus azonosságok:

• $\log(a\cdot b) = \log a + \log b$
• $\log\frac{a}{b} = \log a - \log b$
• $\log a^n = n\cdot\log a$ (ez a logaritmus egyik legjelentősebb szabálya)

Számok alakjai

A számokat sokféleképpen írhatjuk:

• A legegyszerűbb a kis egész számok írása, pl. 123.
• Nagyobb abszolút értékű egész számok esetén érdemes hármasával elválasztani. Pl. az 123456789 nem annyira olvasható, mint az, hogy 123.456.789. Az elválasztó karakterrel kapcsolatban nincs egységes álláspont. Ahol a tizedes karakter a vessző (mint pl a magyarban), ott tipikusan pontot használunk, ahol pedig a tizedespontról beszélünk (pl. az USA-ban), ott az elválasztó a vessző.
• Még nagyobb értékeket ún. normál alakban szokás megadni. Pl. a 123.000.000.000.000.000.000.000 helyett inkább ezt írjuk: $1,23e^{23}$. Esetleg ügyelve arra, hogy a kitevő a 3 egész szorzata legyen, pl. $123e^{21}$. Ugyanez igaz a nagyon pici abszolút értékű számokra is, ott negatív kitevővel.
• Nem egész számokat megadhatunk tizedes vesszős alakban, pl. $1,23$, vagy ha racionális, akkor tört alakban is, pl. $3\frac{4}{7}$.
• Célszerű az olyan konstansokat, mint pl. az $e$ és a $\pi$ mindaddig "cipelni", amíg felhasználásra nem kerül. Pl. a $\pi$ szinusza 0, de a $3,14$-é nem az!
• A végtelen jele $\infty$.

A számok különböző halmazai

A legfontosabb számhalmazok az alábbiak:

• Természetes számok halmaza, ami általában a pozitív egész számokat tartalmazza, ill. bizonyos értelmezés szerint a 0-t is. Jelölése: $\mathbb{N}$, ill. $\mathbb{N}_0$, ha hangsúlyozni szeretnénk azt is, hogy a nullás is beleértjük.
• Egész számok halmaza, ami tehát a pozitív egészek mellett mindenképpen tartalmazza a 0-t és a negatív számokat is, jelölése $\mathbb{Z}$.
• Racionális számok halmaza: olyan számokból áll, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként. Jelölése $\mathbb{Q}$. Tetszőleges két racionális szám között van egy másik, viszont nem folytonos.
• Valós számok halmaza: folytonos a számegyenesen. Jelölése $\mathbb{R}$. Azok a számok, amelyek valósak, de nem racionálisak, irracionálisnak nevezzük, melynek jelölése $\mathbb{I}$, $\mathbb{Q^*}$, esetleg $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Ilyen pl. a $\sqrt{2}$. Azokat a számokat, amelyek nem állíthatóak elő polinomok gyökeként ("nem szerkeszthetőek"), transzcendens számoknak nevezzük. Transzcendens pl. az $e$ vagy a $\pi$.
• Komplex számok halmaza: jelölése $\mathbb{C}$. Mivel ez egy "nagyobb falat", külön alfejezetben tárgyaljuk.

Komplex számok

Ezeknek a számoknak van valós és egy képzetes részük. A képzetes rész egységének a neve imaginárius egység, jele $i$. Definíció szerint: $i^2 = -1$, azaz $i = \sqrt{-1}$.

Pl. a $3 + 2i$ egy komplex szám.

Az összeadást és kivonást úgy végezzük hogy az alapot és a képzetes részt külön kezeljük. Pl.:
$(3 + 4i) + (2 + 3i) = 5 + 7i$
$(3 + 4i) - (2 + 3i) = 1 + i$

Szorzásnál figyelemebe kell venni az imaginárius egység fenti azonosságát. Pl.:
$(3 + 4i) \cdot (2 + 3i) = 6 + 8i + 9i + 12i^2 = 6 + 17i - 12 = -6 + 17i$

Osztásnál, ha pl. $a + bi$-vel szeretnénk osztani, akkor érdemes megszorozni $\frac{a - bi}{a - bi}$-vel, hogy a nevezőből "kiessen" az imaginárius egység. Pl.
$\frac{3 + 4i}{2 + 3i} = \frac{3 + 4i}{2 + 3i}\cdot\frac{2 - 3i}{2 - 3i} = \frac{6 + 8i - 9i - 12i^2}{4 + 6i - 6i - 9i^2} = \frac{18 - i}{13} = \frac{18}{13} - \frac{1}{13}i$

A komplex számok viszonylag ritkán fordulnak elő gyakorlati matekfeladatokban, viszont rendkívül fontosak más területeken, például az elektronikában, a váltakozó áram tárgyalásánál. Emiatt - és egyéb érdekességek miatt is - pár gondolat erejéig tovább tárgyaljuk.

A komplex számoknak háromféle felírási alakja van.

Algebrai alak

Ez a fent bemutatott $a + bi$ forma. Geometriai ábrázolása a következő: az x-koordináta legyen a valós rész ($a$), az y pedig a képzetes ($b$), és az origóból rajzoljunk egy vektort az $(a, b)$ koordinátába.

Trigonometrikus alak

A trigonometriáról később lesz szó; ennek a megértéséhez érdemes azt elolvasni. A trigonometrikus alak a következő:
$z = r\cdot(\cos\varphi + i\cdot\sin\varphi)$

A trigonometrikus alak meghatározása algebrai alakból:
$r = \sqrt{a^2 + b^2}$
$\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$, ha $a > 0$
$\varphi = \pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$, ha $a < 0$

Az algebrai alak meghatározása a trigonometrikus alakból:
$a = r\cdot\cos\varphi$
$b = r\cdot\sin\varphi$

Az algebrai és a trigonometrikus alak illusztrálása (forrás: https://regi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2011-0073_bevezetes_klasszikus_algebraba/ch02s02.html):

Exponenciális alak alak

Sorösszegek határértékével bizonyítható, hogy tetszőleges komplex szám előáll az alábbi formában is:
$z = r\cdot e^{i\varphi}$

Az $r$ és a $\varphi$ a trigonometrikus alak értékei, tehát:
$r\cdot e^{i\varphi} = r\cdot(\cos\varphi + i\cdot\sin\varphi)$

Speciális esetben, ha $r = 1$, akkor
$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\cdot\sin\varphi$

Itt is speciális esetben, ha $\varphi = \pi$, akkor az Euler-formulát kapjuk:
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\cdot\sin\pi = -1 + i\cdot 0 = -1$

Azaz:
$e^{i\pi} = -1$

Ez a formula tehát tartalmazza az exponenciális számításnál alapvető fontosságú $e$ konstanst, a trigonometriában alapvető fontosságú $\pi$-t, a komplex számok $i$ imaginárius egységét, az összeadás és a szorzás nullegységét ($0$ ill. $1$), valamint egy negatív előjelet, tehát összehozza egyetlen tömör képletben a matematika szerteágazó részeit.

Az exponenciális alak gyakorlati egyik haszna: a váltakozó áramot ábrázolhatjuk úgy, hogy a valós rész legyen az idő, a képzetes pedig a pillanatnyi áramerősség, az igen gyakori szorzás ill. hatványozás művelet pedig az exponenciális alak használatával összeadásra ill. szorzásra egyszerűsödik. Tehát az elejét átalakítjuk a algebrai alakot exponenciális alakká, ott végezzük el a műveleteket, majd a végén visszaalakítjuk algebrai alakká.