Erre hajlamosak vagyunk egyből rávágni azt, hogy 99%, pedig a valóság egészen más! A megadott feltételekkel egymillió emberből 1000 beteg és 999.000 egészséges. A beteg emberek 99%-át mondja a teszt betegnek, azaz 990 főt, és 1%-át egészségesnek, azaz 10 főt. Az egészséges emberek 99%-át mondja egészségesnek, azaz 0,99 * 999.000 = 989.010 embert, és 1%-át betegnek, azaz 9990 embert. Összefoglalva az esetek számait:

• Valódi pozitív: 990
• Fals pozitív: 9990
• Valódi negatív: 989.010
• Fals negatív: 10

Összesen tehát a teszt 990 + 9990 = 10.980 embert fog betegnek a teszt mondani. Közülük tudjuk, hogy ténylegesen 990 ember beteg, azaz egy pozitív teszt kb. 9% eséllyel jelent valódi betegséget, az intuitíven érzett 99% helyett, 91% eséllyel ad fals pozitív eredményt.

Fordítva, ha a teszt negatív: összesen 999.010 ember esetében ad a teszt negatív eredményt, ebből 10 a beteg, azaz kb. 0,001% annak az esélye, hogy az illető beteg, és 99,999% eséllyel azt, hogy egészséges.

A feladat mögött rejlő jelenséget a Bayes-tétel írja le: https://hu.wikipedia.org/wiki/Bayes-tétel.

A fenti példában a teszt mindkét irányban 99%-ban ad helyes eredményt. De másképp is lehet kalibrálni: lehet csökkenteni a fals pozitív és a fals negatív eseteket is. A két véglet a következő:

• Mindenkit, aki beteg, a teszt mutassa ki pozitívnak, ne legyen tehát fals negatív. Ez azt is jelenti, hogy nagyon sok olyan egészséges ember lesz, akit pozitívnak fog kimutatni a teszt. Ezen a ponton élesen elkülönül az egyéni és a közösségi érdek: például ha van egy ország, ahol még nem jelent meg a vírus, akkor nem szeretnének olyat beengedni, aki beteg. Bevezetik, hogy csak negatív teszteredménnyel lehet az ország területére belépni, mégpedig egy olyan teszttel, ami nem ad fals negatív eredményt. A közösség ezzel jól jár, mert nem engednek be beteg embert. Az az egyén viszont, aki egészséges, de a tesztje pozitív lett a sok fals pozitív miatt, nem léphet az ország területére, szóval egyénileg ő rosszul jár. Egy ilyen teszt elfogadható még akkor is, ha mondjuk egy Mars-expedícióhoz választunk szuper-egészséges résztvevőt. Sok szuper-egészséges ki fog hullani a fals pozitív eredmény miatt, viszont akit végül kiválasztanak, az biztosan szuper-egészséges lesz.
• Mindenkit, aki egészséges, a teszt mutassa ki negatívnak, ne legyen tehát fals pozitív. Ez azt is jelenti, hogy ha valakit a teszt pozitívnak jelez, az tényleg beteg, akit viszont negatívnak, az még nem nyugodhat meg.Valójában az egyénnek ez is rossz, a közösségnek viszont jó. Gondoljunk pl. a következőre: az egészségügy korlátozott kapacitását azokra szeretnék fordítani, akiről biztosan tudjuk, hogy betegek. Így nulla lesz a pazarlás, viszont sokan, akik ténylegesen betegek, nem fognak megfelelő kezeléshez jutni, a negatív teszteredmény miatt.

Felmerül egyébként az az etikai kérdés, hogy vajon

Fordítsuk meg a dolgot: annak az esélye, hogy egy ember egészséges, 99,8%, azaz 0,998. Annak az esélye, hogy két ember egyszerre egészséges, ennek a számnak a négyzete. Annak az esélye, hogy egyszerre 80 ember egészséges, $0,998^{80} \approx 0,852$, tehát annak az esélye, hogy legalább egy valaki beteg, közelítőleg $1 - 0,852 = 0,148$, azaz kb. 14,8%.

Szerintem az emberek többsége (beleértve magamat is) jóval kisebb számra tippelt volna.

Az ember ösztönösen a 365 vagy 366 felére, olyan 180 körüli értékre gondol, de a valódi megoldás mindössze 23. Itt nem fogjuk levezetni, megtalálható számos helyen, pl. itt: https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem.

A feladat megoldása adatgyűjtéssel kezdődik:

• Az emberek hajszálainak átlagos száma kb. 100.000. Ez a haj színétől és az életkortól is függ, a szőkéké pl. elérheti a 140.000-et is.
• Budapestet kétmilliós városnak tartjuk, valójában a lakóinak a száma az írás pillanatában kb. 1,75 millió, de feltételezzük, hogy bármikor a jövőben, amikor ezt a szö9veget valaki olvassa, a lakosságszám nagyságrendje ennyi lesz.
• Tegyük fel továbbá, hogy a kopaszok és a több mint 150.000 hajszállal rendelkező száma kisebbséget képeznek, tehát még nélkülük is bőven egymillió felett van Budapest lakosainak a száma.

Most képzeljünk el 150.000 darab számozott vödröt, 1-től 150.000-ig, melyekben azon emberek nevei vannak, akiknek pontosan annyi hajszáluk van, amekkora szám van a vödörre írva. Mivel több mint egymillió nevet szeretnénk elhelyezni a 150.000 vödörben, egészen biztosan lesz olyan vödör, melyben több név is szerepel.

Ebben az a paradoxon, hogy hajlamosak vagyunk ennek az esélyét alulbecsülni, sőt, azt gondolni, hogy a létszám növekedésével ez csökken. Tehát pl. egy 30 fős osztály esetén gondolhatjuk azt, hogy ez elhanyagolhatóan kicsi. De a valóság egészen más!

• 1 ember esetén ez nyilván 100%, de így nincs értelme a játéknak.
• 2 ember esetén valójában 50%: vagy egymást húzzak, vagy magukat.
• 3 ember esetén az esély kétharmad. 6 féle húzási lehetőség van, és ebből 4 olyan, hogy legalább egyvalaki magát húzta.
• 4 ember esetén még le tudjuk vezetni, hogy a 24 féle húzási lehetőségből 15 olyan van, ahol legalább egy valaki magát húzta, ami 62,5%.

Az esély valójában oszcillálva közelít a kb. 57%-hoz.
Ha úgy tennénk fel a kérdést, hogy várhatóan hány ember húzza saját magát, akkor létszámtól függetlenül az eredmény 1 lesz. Tehát ebben a játékban igenis fel kell készülnünk arra, hogy mi van, ha valaki saját magát húzta!

Az ember azt gondolná, hogy lát két függönyt, az egyik mögött fekete macska van, a másik mögött ajándék, 50%-50% az esélye mindkettőnek. A valóság azonban nem ez! Kétharmad annak az esélye, hogy a másik függöny mögött van az ajándék, és egyharmad annak, hogy az eredeti mögött. A formális levezetés helyett két segítséget adat a megértéshez:

• A választás pillanatában egyharmad eséllyel találta el a játékos az ajándékot. Ez az esély nem változott azzal, hogy megtudott egy másik információt.
• Képzeletben játsszuk el a játékot úgy, hogy nem három, hanem ezer ablak van. Kiválasztunk egyet, mondjuk az egyest, a játékvezető kinyit 998-at, és így 2 marad csukva: az általunk választott egyes sorszámú, valamint mondjuk a 823-as. Vajon melyiknek van nagyobb esélye: az egyesnek vagy a 823-asnak?

A világon közel 8 milliárd ember él, szóval az ember egy nagy számra, akár milliókra gondol. A valóság viszont az, hogy a szám még a legnagyobb távolság esetén is egy számjegyű. Két példával illusztrálom:

• Magyarországon szerintem nagyjából mindenki eléri a saját országgyűlési képviselőjét 2, max. 3 lépésben. Hogy mást nem mondjak: pl. mindenki ismeri a gyerekének az osztályfőnökét, aki ismeri az iskola igazgatóját, és egy iskola igazgató valószínűleg ismeri az országgyűlési képviselőt. Az ország miniszterelnöke jó eséllyel ismeri az országgyűlési képviselőket, a miniszterelnöktől mondjuk az amerikai elnök pedig szintén meg van 1-2 lépésben. Hasonlóan levezethető pár lépésben akárki másnak az amerikai elnöktől való távolsága.
• De ennél jó eséllyel rövidebbet is tudunk mondani! Tegyük fel, hogy a két embernek van közös hobbija, vagy legalább az egyiknek van olyan ismerőse, akivel már a másiknak van közös hobbija. Pl. tegyük fel, hogy az egyik sakkozik, a másiknak meg van egy sakkozó ismerőse. Egy félig-meddig aktív sakkozónak jó eséllyel van olyan ismerőse, aki ismeri az országának a legjobb sakkozóját, és két ország legjobb sakkozója jó eséllyel ismeri egymást, esetleg 2 lépésben.

Az eredeti kérdésre pontos választ adni természetesen nem lehet; itt igazából a nagyságrend a lényeg. Az egy számjegyű számok elfogadhatóak helyes válaszként (kivéve persze a nagyon kicsi, 5 alatti számok), de a kérdésre a várható válasz ennél sok nagyságrenddel nagyobb.

Az ember azt gondolja, hogy egy nagyon picivel kisebb, de nem, a valóság az, hogy a kettő teljesen egyenlő! Egy ötlet:
$3\cdot\frac{1}{3} = 1$
$3\cdot 0,33333… = 1$
$0,99999… = 1$

Tehát nem körülbelül vagy kerekítve egyenlő, hanem pontosan!

Valójában ugyanannyi páros szám van mint egész szám! A végtelenek ugyanis másképp működnek mint a végesek. Az önmagában nem elég, hogy mindkettő végtelen tehát egyenlőek, mert pl. valós számból több van mint egész számból, de páros számból és egész számból ugyanannyi van. Tudunk ugyanis egy bijektív megfeleltetést képezni a két halmaz között: az egész számok halmazát képezzük a páros számok halmazára úgy, hogy mindegyik számnak vesszük a kétszeresét!

Az ember azt gondolná, hogy egyenletes lesz: mindegyikben a teljes mennyiség kb. 1/9-ede lesz. A valóság viszont az, hogy - mivel a természetben előforduló mennyiségek döntő többsége exponenciális eloszlású - az 1-es lesz a leggyakoribb (több mint 30%), a 2-es ritkább (kb. 18%) stb.; a 9es lesz a legritkább, 5% alatti aránnyal.

A paradoxont az okozza, hogy az emberi agy alapvetően az egyenletes eloszlásra van "felkészítve", az exponenciálist nehezen fogja fel. Ezt a tényt egyébként Benford szabálynak hívjuk.

Az ember ösztönösen a második opciót választja, valójában viszont az első a helyes megoldás! Jó eséllyel nyilván olyan ember volt, aki olyan vízvezeték szerelő, aki nem könyvelő is egyben, de a fenti választási lehetőségek közül amiatt a könyvelő a helyes válasz, mert a könyvelő és vízvezeték szerelő halmaz a könyvelő részhalmaza.

Az első ötletünk az, hogy 50%, mivel két olyan doboz van, melyben arany van; nyilván az egyiket választottuk, és az egyikben ezüst, a másikban arany található.

Csakhogy ez a gondolkodás rossz! A helyes levezetés a következő! Valójában véletlenszerűen választottuk a 6 rész közül egyenletesen! Tehát 1/6 eséllyel választottuk azt az aranyat, melynek a másik fele ezüst, egyhatod eséllyel a két aranyat tartalmazó doboz egyik felét, és 1/6 eséllyel ugyanannak a doboznak a másik felét. A lényeg, hogy egyenlő eséllyel választottuk mindhármat! Így valójában 3 egyenlő valószínűségű lehetőségünk van, közülük egy esetben ezüst, két esetben arany van. Tehát az arany valószínűsége nem 1/2, hanem 2/3.

Természetesen 50%.

Legalábbis kerekítsünk erre. Most is és a későbbiekben is tekintsünk el a biológiai torzító hatásokról:

• A valóságban több kisfiú születik mint kislány, ám a fiúk esetében magasabb a csecsemőhalandóság.
• Az egypetéjű ikrek picit torzítják a statisztikát.
• Bizonyos betegségek szintén befolyásolják a nemet.
• A társadalmi hatások is befolyásolóak lehetnek.

Kapásból itt is azt a választ adnánk, hogy 50%, mivel kb. ekkora az esélye annak, hogy valaki fiú legyen vagy lány, és ezt nem befolyásolja a testvérei neme. Viszont nem ez a helyes válasz! A kétgyerekes családoknak valójában négyféle kombinációja lehetséges:

• Mindketten fiúk (FF).
• Az idősebb a fiú, a fiatalabb a lány (FL).
• Az idősebb a lány, a fiatalabb a fiú (LF).
• Mindketten lányok (LL).

Ezeknek az előfordulási esélyei a feladat szempontjából egyenlőeknek tekinthetők. Annyit tudunk, hogy a negyedik lehetőség ki van zárva, marad tehát egyenlő eséllyel a FF, FL és LF kombináció. Tehát a három egyforma valószínűségű esetből két esetben a testvér lány, és egy esetben fiú.

A megoldás tehát az, hogy 1/3.

A megoldás látszólag itt is 1/3, hiszen miért befolyásolná a születés napja a feladatot? Csakhogy ez nem igaz! A FF, FL, LF és LL kombinációkat bontsuk alá a születésük napja szerint, 49 részre. Pl. a FF kombinációban ez ezt jelentené:

• Az idősebb fiú hétfőn született, a fiatalabb fiú hétfőn született.
• Az idősebb fiú hétfőn született, a fiatalabb fiú kedden született.
• Az idősebb fiú hétfőn született, a fiatalabb fiú szerdán született.
• …
• Az idősebb fiú kedden született, a fiatalabb fiú hétfőn született.
• Az idősebb fiú kedden született, a fiatalabb fiú kedden született.
• …
• Az idősebb fiú vasárnap született, a fiatalabb fiú vasárnap született.

Ugyanez a másik 3 kombinációval is, így összesen 4*49 = 196, kb. egyenlő valószínűségű kombinációról beszélünk. Foglaljuk össze egy táblázatban a számunkra érdekes kombinációkat!

A táblázat értelmezése: a 196, egyenlő valószínűségű kombinációból egy olyan van, melyben két fiú van és mindketten hétfőn születtek, 49 két lányos család van stb.

• Azoknak a családoknak a száma, ahol van legalább egy hétfőn született fiú: $1 + 6 + 6 + 7 + 7 = 27$. Ezek közül azok száma, amelyben mindkét gyerek fiú: $1 + 6 + 6 = 13$. Az eredmény tehát [[ 13 / 27 ≈ 0,48 ]].

A megoldás tehát kb. 48%.

Folytassuk a születésnapos gondolatmenetet! 1/7 eséllyel születik valaki hétfőn. Az eredmény az alábbi képlet alapján jött ki:

$\frac{\frac{1}{196} + \frac{6}{196} + \frac{6}{196}}{\frac{1}{196} + \frac{6}{196} + \frac{6}{196} + \frac{7}{196} + \frac{7}{196}}$

Egyszerűsítsünk 1/196-tal, és csempésszünk be 7-et mindenhova!

$\frac{1 + (7-1) + (7-1)}{1 + (7-1) + (7-1) + 7 + 7}$

Cseréljük le a 7-est x-re:

$\frac{1 + (x-1) + (x-1)}{1 + (x-1) + (x-1) + x + x}$

Rendezzük át:

$\frac{2x - 1}{4x - 1}$

Itt x jelenti a kiemelt esemény valószínűségének a reciprokát; a hétfős feladatban tehát a 7-et, mert 1/7 eséllyel születik valaki hétfőn.

Valójában ez az x minél nagyobb, annál közelebb vagyunk az 50%-hoz! A statisztika szerint kb. 5000 Gusztáv nevű ember él Magyarországon és a lakosság kb. fele, kb. 5 millió fő férfi. így eben az esetben x=1000 egy jó közelítés. Behelyettesítve: $1999/3999 ≈ 0,49987$.

A végeredmény: kb. 49,99%.

Az ember azt gondolná, hogy ha a fentinek 1, akkor a lentinek se lehet sokkal több, pl. 2-3. De a valóság az, hogy a lenti végtelen, még akkor is, ha nagyon pici számokat adunk össze! Elsőre talán nagyon nehéz ezt felfogni. Vegyük a következő összeget, ami nyilvánvalóan kisebb mint a fenti:

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + …$

Ami összevonva a következő:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + …$

Ez utóbbi már nyilvánvalóan végtelen.

A szomorú valóság az, hogy ez igaz: statisztikailag a barátaink átlagos népszerűsége nagyobb mint a miénk. Ha felrajzolunk egy véletlenszerű hálózatot nem túl sok emberrel, ahol a vonalak a barátságot jelentik, mégpedig úgy, hogy - a valóságot modellezve - legyenek népszerűbb és kevésbé népszerű emberek, majd kiszámoljuk minden ember barátainak átlagos számát, végül minden emberre kiszámoljuk a barátainak a barátszám átlagát, és ennek az átlagát vesszük, azt fogjuk kapni, ez utóbbi nagyobb mint az előbbi. Ez minden emberi kapcsolatra igaz, és a mindenben az is benne van, amire most az olvasó gondol.

Nem, az esélye maradt 1/3. A valós lehetőségek esélyei ugyanis a következőek:

• 1/3 annak az esélye, hogy amiatt választotta B-t, mert C menekül meg.
• 1/3 annak az esélye, hogy A menekül meg. Ekkor viszont 1/2*1/3 = 1*6 annak az esélye, hogy amiatt választotta B-t, mert fej vagy írással ő jött ki.
• Ugyanezt el lehet játszani azzal is, hogy C-re mondta volna, hogy ki fogják végezni, így jön ki a 100%.

Tehát az információ birtokában azt tudjuk, hogy 1/3 eséllyel menekül meg A és 2/3 eséllyel C.

A trükk a következő: a szorzás kommutatív volta miatt X szám Y%-a egyenlő Y szám X%-ával. A példákban:

• 75-nek a 4%-a = 4-nek a 75%-a = négynek a háromnegyede = 3
• 50-nek a 18%-a = 18-nak az 50%-a = 18 fele = 9
• 25-nek a 64%-a = 64-nek a 25%-a = 64 negyede = 16

Amiatt tartom ezt paradoxonnak, mert a vázolt ötlet nélkül nem gondolnánk, hogy fejben is ki lehet számolni, ráadásul ilyen gyorsan.

Elsőre talán meglepő, de ez az összehasonlítás nem tranzitív! Tegyük fel, hogy a 3 kocka az alábbi:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7

Az A kocka 5/9 eséllyel veri B-t, a B ugyancsak 5/9 eséllyel C-t, de C is 5/9 eséllyel veri A-t.

Furcsán hangzik, de le lehet vezetni. Tekintsük az alábbi összegeket:

$S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 …$

$S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …$

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 …$

Minket a harmadik érdekel, de előtte számoljuk ki az első kettőt!

Kezdjük $S_1$-gyel! Ha páros számú összetevőből áll, akkor 0, ha páratlanból, akkor 1. Átlagoljuk a kettőt, és legyen az eredmény fél:

$S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 … = \frac{1}{2}$

Az $S_2$ kiszámolásához alkalmazzuk a következő trükköt. Számoljuk ki a kétszeresét!

$2\cdot S_2 = (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …) + (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …)$

Az összeadásnál csúsztassuk el eggyel az alsót! Ezt az alábbi módon tudom szemléltetni:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …
  + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 …
-------------------------------
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 …

Tehát az egymás alatt levő elemeket összeadva:

$2\cdot S_2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 … = \frac{1}{2}$

Tehát:

$S_2 = \frac{1}{4}$

Most vonjuk ki $S$-ből $S_2$-t:

$S - S_2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 …) - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …)$

Írjuk egymás alá ismét!

  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 …)
- (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …)
-----------------------------------
   0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 +16 …

Tehát elemenként kivonva ez adódik:

$S - S_2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 … = 4\cdot(1 + 2 + 3 + 4 …) = 4\cdot S$

Tehát:

$S - S_2 = 4\cdot S$

Behelyettesítve:

$S - \frac{1}{4} = 4\cdot S$

Kifejezve ebből $S$-t:

$S = -\frac{1}{12}$

Tehát:

$\sum_{x=1}^{\infty} x = -\frac{1}{12}$

Hülyeség? Lehet. De pl. a fizikában ezt az egyenlőséget alkalmazzák, pl. a húrelméletben.

A levezetés a https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww videó alapján készült.

A jelenség neve holló-paradoxon, Hempel-paradoxon, vagy beltéri ornitológia. Igazából az, hogy látunk egy fekete hollót, pusztán logikai szempontból nem erősíti azt az állítást, hogy minden holló fekete. Ez az állítás alapból igaz (logikailag még akkor is igaz lenne, ha egyáltalán nem léteznének hollók), és az egyetlen dolog, ami befolyásolja az állítás igazságtartalmát az egy olyan holló, ami nem fekete. Az állítás logikai igazságtartalma szempontjából a fekete holló, a zöld alma és a fekete párduc nem érdekes.

Tegyük fel, hogy nyár kellős közepén vagyunk a Balaton partján, és az áruházláncnak két üzlete van az adott településen: az egyik a vízparthoz közel, a másik pedig a település központjában.

A lényeg, hogy a vízparton sokkal többen vásárolnak mint a központban. A vízparthoz közel inkább piros almákat, a központban pedig inkább zöld almákat árusítanak. Mindkét helyen jobban fogyott a zöld alma. Viszont ahol nagyobb részt piros almát árusítottak, több volt a vásárló, emiatt történt meg az, hogy globálisan jobban fogyott a piros alma mint a zöld.

Ez így semleges példa, nem vált ki érzelmeket. Most helyettesítsük be a a következőket: az árugázlánc legyen egyetem, a zöld almák legyenek férfiak, a piros almák nők, a vízparti üzlet a mérnöki szak, a központi üzlet a pszichológia szak, az eladott alma pedig a felvett diák. Ez már elég komoly társadalmi feszültségekhez vezet. Ehhez hasonló egyébként valóban megtörtént 1972-ben a California egyetemen. A paradoxont Simpson paradoxonnak hívjuk. Az említett esetről is olvashatunk a vonatkozó Wikipédia szócikken (https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson's_paradox), és érdemes a magyar szócikkei is elolvasni (https://hu.wikipedia.org/wiki/Simpson-paradoxon), mert nem egy az egyben az angol szócikk fordítása.