Függvények

Fő kategória: matek.

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}\DeclareMathOperator{\arccsc}{arccsc}$

Áttekintés

A függvények a matekfeladatok gyakran visszatérő elemei. Persze mindez bújtatottan: a megoldáshoz valamilyen függvényműveletet kell végrehajtani, de erre nekünk kell rájönnünk.

Mi is a függvény? Ahogy a nevéből következik: valami valaminek (vagy valamiknek) a függvénye. Például a hőmérséklet az idő függvénye: télen hidegebb van, mint nyáron, éjjel hidegebb van, mint nappal. A feladatokban egyébként leggyakrabban az idő függvényében történik valami, így ha bármilyen, idővel kapcsolatos eseménnyel találkozunk, akkor jó eséllyel valamilyen függvény műveletet kell végrehajtanunk.

Léteznek többváltozós függvények is. Például a hőmérséklet valójában nem egyvalamitől függ csak, nemcsak az időtől, hanem attól is, hogy hol mérjük. Ez utóbbit pedig leginkább három értékkel tudjuk megadni, pl. szélesség, hosszúság és tengerszint feletti magasság, így - hozzávéve még az időt is - mondhatjuk, hogy a hőmérséklet négy változó függvénye. Többváltozós függvényekkel egyébként elég nehéz dolgoznunk, és így az ilyen feladat igen ritka. Ebben a szakaszban az egyváltozós függvényekre szorítkozunk.

Deriválás

A függvény deriváltja azt jelenti, hogy hogyan változik a függvény. Például ha egy jármű egy adott ponttól távolodik, és a függvény azt mutatja meg, hogy mikor (tehát az idő függvényében) milyen távol van az adott ponttól, akkor a derivált a sebességet adja meg. Ha a függvény a sebesség (tehát a sebesség az idő függvényében, azaz mikor mekkora a jármű sebessége), akkor a derivált a sebesség változása, azaz a gyorsulás.

A deriválást nevezik még differenciálszámításnak is, ami a változásra (különbségre) utal. Többféleképpen jelölik:

  • Aposztróffal:
    • Ha a függvény $f(x)$, akkor a derivált szokásos jele $f'(x)$, $(f(x))'$, vagy csak simán $f'$.
    • Ha - koordinátarendszerben gondolkodva - a függvényt úgy írjuk fel, hogy pl. $y = 2\cdot x + 3$, akkor $y'$.
    • Sokszor közvetlenül magára a képletre alkalmazzuk, pl. $(2\cdot x + 3)'$.
  • $\frac{d}{dx}$ jelöléssel
    • Az $f(x)$ függvényre alkalmazva $\frac{d}{dx}f(x)$
    • A képletre alkalmazva pl. $\frac{d}{dx}[2\cdot x + 3]$
  • A parciális derivált jelölése: $\frac{\partial f}{\partial x}$. Ennek leginkább többváltozós függvények esetén van értelme, pl. ha az $f$ függ mondjuk $x$-től és $y$-tól is, és ezzel azt fejezzük ki, hogy mi csak $x$ szerint szeretnénk deriválni, az $y$-ra konstansként tekintünk. Ennek speciális esete az, amikor a függvény csak $x$-től függ, így néha egyváltozós esetben is használatos ez a jelölés.

A deriválás a legtöbb esetben eléggé mechanikus, visszavezethető néhány alapszabályra. A képletre alkalmazott aposztróf jelöléssel ezek az alábbiak. A felsorolás persze nem teljes, de a gyakorlatban előforduló furfangos matekfeladatok megoldásához ezek többnyire elegendőek.

Deriválási alapszabályok

$c' = 0$
Ez a konstans szabály: tetszőleges konstans deriváltja nulla. Ez közvetlenül adódik a deriválás definíciójából: mivel a derivált a függvény változását jelenti, így ha nem változik a függvény, akkor annak deriváltja nulla.

$(x^n)' = n\cdot x^{n-1}$
Ez a leggyakrabban alkalmazott deriválási szabály, a polinomok deriválásakor. Megértéséhez vegyük a következő két példát:

  • Tegyük fel, hogy egy jármű a 0 időpillanatban a 0 pontban van, az 1 időpillanatban 2 egység távolságra, a 2 időpillanatban 4 egység távolságra, a 3 időpillanatban 6 egység távolságra, és így tovább. Tehát egységnyi idő alatt két egységnyi távolságot tesz meg. Azaz $(2\cdot x)' = 2$.
  • Tegyük fel, hogy a jármű a 0, 1, 2, 3, 4, 5, … időpillanatokban 0, 1, 4, 9, 16, 25, … távolságokban van. A különbségek rendre: 1, 3, 5, 7, 9, …, azaz ahogy távolodunk az origótól, egységnyi időváltozás alatt két egységnyi a különbség. Megfelelő finomítással kijön az $(x^2)' = 2x$ eredmény.

$(a^x)' = \ln(a)\cdot a^x$
Az exponenciális függvény deriválásának speciális esete ez: $(e^x)' = e^x$, azaz az Euler-féle szám alapú exponenciális deriváltja önmaga.

$(log_a(x))' = \frac{1}{x\cdot\ln(a)}$
Ennek ugyancsak speciális esete $a = e$ esetén $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Trigonometrikus azonosságok

Csak felsorolás szintjén (az első kettő néha előfordul, a többi rendkívül ritka):

  • $(\sin x)' = \cos x$
  • $(\cos x)' = -\sin x$
  • $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
  • $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$
  • $(\sec x)' = \tan x\cdot\sec x$
  • $(\csc x)' = -\cot x\cdot\csc x$
  • $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
  • $(\arccot x)' = \frac{-1}{1+x^2}$
  • $(\arcsec x)' = \frac{1}{|x|\cdot\sqrt{x^2-1}}$
  • $(\arccsc x)' = \frac{-1}{|x|\cdot\sqrt{x^2-1}}$

Összetett függvény szabályok

Az alábbiakban $f$ és $g$ két, $x$-től függő függvényt jelent, azaz precízebben ezek $f(x)$ és $g(x)$.

$(c\cdot f)' = c\cdot(f)'$
Ez a konstanssal történő szorzás szabálya: a konstans "kiemelhető".

$(f \pm g)' = f' \pm g'$
Az összeadás ill. kivonás szabálya. Például $(3x^2 + 4x - 1)' = (3x^2)' + (4x)' - (1)'$. Ami tovább egyenlő - a már megismert szabályokat alkalmazva - a következővel: $6x + 4$. Megjegyzés: a polinomok deriválása a leggyakoribb deriválási feladat, és ez valóban nagyon jól megjegyezhető és mechanikus is.

$(f \cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'$
Ez a szorzás szabálya. Pl. $(x^2\cdot\ln(x))' = (x^2)'\cdot\ln(x) + x^2\cdot(ln(x))' = 2x\cdot\ln(x) + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\cdot\ln(x) + x$

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}$
Ez az osztás szabálya. Pl. $\left(\frac{3x+2}{4x-1}\right)' = \frac{(3x+2)'\cdot(4x-1) - (3x+2)\cdot(4x-1)'}{(4x-1)^2} = \frac{3\cdot(4x-1) - (3x+2)\cdot 4}{16x^2-8x+1} = \frac{12x - 3 - 12x - 8}{16x^2-8x+1} = \frac{-11}{16x^2-8x+1}$. Az osztás deriváltjának gyakran elég "csúnya" az eredménye.

  • $(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'$

Ez az ún. láncszabály. Sokszor a következő formában szerepel: $(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$. A következő jelölés is gyakori és igen kifejező: $\frac{dx}{dy} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$.

Ez a szabály arról szól, hogy hogyan kapcsolunk össze két szabályt. Tegyük fel, hogy az $e^{2x}$ deriváltját szeretnénk kiszámolni! Az $e^x$ és a $2x$ deriváltját meg tudjuk határozni, de a "kettő együtt" már fogósabb. A láncszabályt alkalmazva: $(e^{2x})' = e^{2x}\cdot(2x)' = e^{2x}\cdot 2$.

Integrálás

Az integrálás a deriválás inverz művelete: ha egy függvényt deriválunk, majd az eredményt integráljuk, akkor többé-kevésbé az eredeti függvényt kapjuk eredményül. A "többé-kevésbé" amiatt van, mert egy konstanssal eltérhet: mivel a konstans deriváltja nulla, azt nem tudjuk, hogy eredetileg volt-e ott konstans, és ha igen, akkor az mekkora volt. A gyakorlatban viszont ennek nincs igazán jelentősége, ugyanis - mint látni fogjuk - a gyakorlatban ez a konstans kiesik.

Az integrál jele $\int$, a végére pedig $dx$ formában odaírjuk azt, hogy mi szerint integrálunk (tipikusan x szerint). Megkülönböztetünk határozatlan és határozott integrált. Határozatlan esetben az eredeti függvényre vagyunk kíváncsiak, amit primitív függvénynek is szoktunk nevezni, határozott integrál esetén pedig bejön az integrál képletes jelentése: a függvény alatti terület mérete. Erre többnyire két konkrét érték között vagyunk kíváncsiak. Ha pl. a-tól b-ig tartó határozott integrált számítunk, akkor annak jele $\int\limits_a^b$ A terület itt előjeles: az x-tengely fölötti részt pozitív, míg az az alatti részt negatív előjellel vesszük figyelembe. A gyakorlatban leggyakrabban olyan feladatok fordulnak elő, ahol a teljes integrálandó függvény az x-tengely fölött helyezkedik el.

Az alábbi ábra (forrás: http://math.feld.cvut.cz/mt/mtold/txtd/1/txe3da1a.htm) ezt illusztrálja. A görbe által meghatározott függvény határozott integrálja a és b között a satírozott terület:

intergal1.gif

Közelítő értékét integrálás nélkül is meg tudjuk határozni, ha "vékony" téglalapokra osztjuk fel:

intergal2.gif

Példaként - a deriválásnál leírt út-sebesség példát megfordítva - tegyük fel, hogy adott egy jármű sebessége az idő függvényében, és azt szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi utat tett meg. Ezt a következőképpen tudjuk ábrázolni: az x-tengely jelentse az időt, az y-tengely a sebességet. Ez esetben a függvény azt ábrázolja, hogy a jármű mikor mekkora sebességgel haladt, a függvény alatti terület pedig a megtett út.

Integrálási alapszabályok

Míg a deriválás eléggé mechanikus, addig az integrálás nagyon nem az. Itt is vannak persze szabályok, de sok esetben "rá kell érezni" arra, hogy ez eredetileg egy szorzat, egy osztás vagy egy összetett függvény volt, ami már önmagában nehéz, ezek kombinációját észrevenni pedig különösen az. Az alábbiakban látjuk a legfontosabb integrálási szabályokat. Mindegyik esetben a végén van egy plusz konstans, amit az egyszerűség érdekében nem írok ki.

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Ez a leggyakrabban alkalmazott integrálási szabály. Általánosabban: $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\cdot\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$

$\int\frac{1}{x} dx = \ln|x|$

Adódik a deriválási szabályból. Általánosabban: $\int\frac{1}{ax+b} = \frac{1}{a}\cdot\ln|ax+b|$

$\int e^x dx = e^x$

Az $e^x$ deriváltja önmaga, így az integrálja is önmaga. Általános esetben: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$

A trigonometrikus függvények integrálása

A trigonometrikus függvények integráljai (az első kettőre esetleg szükség lehet, a többire valószínűtlen):

  • $\int\sin x dx = -\cos x$
  • $\int\cos x dx = \sin x$
  • $\int\tan x dx = -\ln|\cos x|$
  • $\int\cot x dx = \ln|\sin x|$
  • $\int\sec x dx = \ln|\sec x + \tan x|$
  • $\int\sec^2 x dx = \tan x$
  • $\int\csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x|$
  • $\int\csc^2 x dx = -\cot x$

Összetett függvények

$\int k\cdot f(x)dx = k\cdot\int f(x)dx$

A konstans "kiemelhető" az integrálból.

$\int (f(x)\pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

A deriváláshoz hasonlóan az összeadás ill. kivonás felbontható.

A határozott integrál

Határozott integrál esetén a függvény alatti előjeles területet szeretnénk meghatározni. Ezt leggyakrabban két véges érték között szoktuk megtenni, de természetesen lehetőség van az integrál kiszámítására mínusz végtelentől plusz végtelenig is. Ezt az ún. Newton-Leibniz formula segítségével számolhatjuk ki. Jelölje $f(x)$ az integrálandó függvényt, $F(x)$ pedig annak eredményét, azaz a primitív függvényt. Ez esetben a határozott integrál kiszámításának a képlete:

$\int\limits_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$

Elég tehát a primitív függvénybe annak két végpontján behelyettesíteni, s venni a különbséget. És figyeljük meg, hogy itt "esik ki" a konstans: tetszőleges konstans írhatjuk a primitív függvénybe, a kivonás miatt nincs jelentősége, hogy mit írtunk oda.

Ezt a következőképpen is szoktuk jelölni:

$\int\limits_a^b f(x)dx = [F(x)]^b_a$

Példa: egy jármű sebességét az $f(x)=x^2$ függvény írja le, a feladat pedig a jármű által megtett út kiszámítása az első 3 másodpercben.

Megoldás: először számoljuk ki a megadott függvény primitív függvényét: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + c$. Helyettesítsünk be 3-at: $\frac{3^3}{3} = 9$, valamint 0-t: $\frac{0^3}{3} = 0$, majd vonjuk ki az elsőből a másodikat: $9-0=9$. A jármű tehát 9 egységet tesz meg 3 egységnyi idő alatt.

Másképp levezetve (ez a gyakoribb):

$\int\limits_0^3 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]^3_0 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = 9-0 = 9$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License