A családok 0.51∙0.49 része kétgyerekes. Viszont jelen esetben nem családokról, hanem gyerekekről van szó. A gyerekszám az alábbi:
- A családok 0.49 arányában 1 gyerek van, tehát a gyerekszám 0.49∙1 = 0.49.
- A családok 0.51∙0.49 arányában 2 gyerek van, tehát a gyerekszám 0.51∙0.49∙2 = 0.4998.
- A családok 0.51∙0.51∙0.49 arányában 3 gyerek van, tehát a gyerekszám 0.51∙0.51∙0.49∙3 = 0.382447.
- Általánosítva: a családok 0.51n∙0.49 arányában n+1 gyerek van, tehát a gyerekszám 0.51n∙0.49∙(n+1).
Az összes gyerekszám tehát a következő:
$A = \sum_{n=0}^{\infty} 0.51^n \cdot 0.49\cdot (n+1)$
A megoldás tehát 0.51∙0.49∙2 / A lesz. Határozzuk meg A-t! A fenti összegből 0.49 kiemelhető. Legyen A=0.49∙S.
$A = \sum_{n=0}^{\infty} 0.51^n \cdot 0.49\cdot (n+1) = 0.49 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} 0.51^n \cdot (n+1) = 0.49 \cdot S$
Tehát:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} 0.51^n \cdot (n+1)$
Az eredmény a következő lesz:
$\frac{0.51 \cdot 0.49 \cdot 2}{0.49 \cdot S} = \frac{1.02}{S}$
Határozzuk meg S-t! Általánosítsuk r-rel, majd a végén behelyettesítünk r=0.51-et:
$S(r) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot (n+1) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot n + \sum_{n=0}^{\infty} r^n$
A geometrikus sor összege ismert:
$S(r) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$, ahol |r| < 1.
A másik tag már nehezebb. Ennek meghatározásához a következő trükköt alkalmazzuk: vesszük az r szerinti deriváltat. Deriváljuk a fenti képlet mindkét oldalát:
$S'(r) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} r^n \right)' = \sum_{n=0}^{\infty} \left(r^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot r^{n-1}$.
Az utolsó lépésben azt is kihasználtunk, hogy ha n=0, akkor n-nel szorozva bármi 0 lesz.
Szorozzuk meg mindkét felét r-rel:
$r \cdot S'(r) = \sum_{n=0}^{\infty} n \cdot r^n$.
Most deriváljuk a mások oldalt:
$S'(r) = \left(\frac{1}{1-r}\right)' = \frac{1' \cdot (1-r) - 1 \cdot (1-r)'}{(1-r)^2} = \frac{1}{(1-r)^2}$
Ez a hányados deriválását használtuk ki.
Ezt is szorozzuk meg r-rel:
$r \cdot S'(r) = \frac{r}{(1-r)^2}$
Tehát a kettőt egyenlővé téve ezt kapjuk:
$r \cdot S'(r) = \sum_{n=0}^{\infty} n \cdot r^n = \frac{r}{(1-r)^2}$.
Most helyettesítsük be a kapott eredményeket:
$S = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot (n+1) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n \cdot n + \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{r}{(1-r)^2} + \frac{1}{1-r}$
Helyettesítsük be r=0.51-et:
$S = \frac{0.51}{(1-0.51)^2} + \frac{1}{1-0.51} \approx 4.165$
Most helyettesítsünk vissza az elején meghatározott képletbe:
$\frac{1.02}{4.165} \approx 0.2449$
Tehát kb. 24.49% eséllyel lesz egy gyereknek pontosan egy testvére.
