Kategória: Matek feladatok.
Papírhajtogatás
Ha 42-szer félbe hajtunk egy papírlapot egymás után, akkor milyen vastag lesz az így eredményül kapott hajtogatott papír?
Ezt csak elméletben lehet megoldani, ugyanis nagyobb lenne mint a Föld-Hold távolság. Egy papír átlagos vastagsága egytized milliméter. Minden egyes hajtással duplázzuk a vastagságot. $0.1\cdot 2^{42}mm \approx 440\cdot 10^9 mm$ = 440 millió km, a Föld-Hold távolság viszont kb. 384 millió km.
Villanykapcsolás
Van 4 kapcsoló egy szobán kívül. Ezek közül pontosan egy kapcsolja fel a szobai villanyt. Tetszőlegesen kapcsolgathatjuk a kapcsolókat, de nem nézhetünk be. Majd ha benyitottunk, akkor már nem változtathatunk a kapcsolókon. Hogyan tudjuk megmondani, hogy melyik kapcsoló kapcsolja a villanyt?
Kapcsoljuk be az 1-es és a 2-es kapcsolót, majd egy idő után kapcsoljuk ki. Majd kapcsoljuk be a 2-es és a 3-as kapcsolót, és azonnal menjünk be. Nézzük meg, hogy az izzó forró-e vagy sem, ill. azt látjuk, hogy világít-e. Az alábbi lehetőségek vannak:
- 1-es kapcsoló <=> forró, nem világító izzó.
- 2-es kapcsoló <=> forró, világító izzó.
- 3-as kapcsoló <=> nem forró, világító izzó.
- 4-es kapcsoló <=> nem forró, nem világító izzó.
Lámpakapcsolás
Van 100 lámpa egymás után. Alapból mindegyik ki van kapcsolva. Először mindegyiket felkapcsoljuk. Utána minden másodikat lekapcsoljuk. Majd minden harmadikat átkapcsoljuk. Majd minden negyediket, ötödiket, stb. egészen százig. Mi lesz a végeredmény?
A négyzetszámok lesznek bekapcsolva. Nem négyzetszám esetén mindegyik kapcsolásnak lesz egy párja. Ugyanis az átkapcsolás azt jelenti, hogy az aktuális lépésköz osztója a lámpa sorszámának. Ha az a lépésköz a lámpa sorszáma négyzetgyökénél kisebb, akkor a párja az a szám, azaz lépésköz lesz, amelyikkel megszorozva kijön a lámpa sorszáma, és ez utóbbi a sorszám négyzetgyökénél nagyobb lesz. A gondolatmenet akkor is érvényes, ha a négyzetgyök feletti számmal indulunk. Ez a négyzetszámokra is igaz, egyetlen kivétellel: a négyzetgyök, annak nem lesz párja. Tehát a nem négyzetszámok esetében páros darabszámú átkapcsolás van, a négyzetszámok esetén páratlan.
Hajó
Ha egy hajó összes alkatrészét kicseréljük az utolsó deszkáig és az utolsó szögig, akkor az még ugyanaz a hajó? És ha az eredeti, kicserélt alkatrészekből újjáépítjük a hajót, akkor melyik hajó képezi az eredeti hajó identitását?
A kérdésre természetesen nincs válasz. Ez az ún. https://hu.wikipedia.org/wiki/Thészeusz_hajója paradoxon. Hasonló problémák:
- Egy baltának nyolcszor cserélték ki a nyelét és ötször a fokát.
- Egy kórus összes tagja fokozatosan kicserélődött, a teljes repertoár megváltozott, többször nevet és helyszínt is változtatott.
- Hasonlóan egy futballklub, egy politikai párt, egy oktatási intézmény vagy egy cég.
Előrejelzéses választás
Van két doboz, az egyik átlátszó (A), a másik nem az (B). Az átlátszó alatt 1000 dollár található. El kell dönteni, hogy melyik nyereményt választjuk: csak a B-t vagy mindkettőt. A B tartalma egy előrejelző alapján dőlt el:
- Ha az jelezte azt jelezte előre, hogy csak a B-t fogjuk választani, akkor egymillió dollár van alatta.
- Ha viszont azt jelezte előre, hogy mindkettőt választjuk, akkor üres.
Melyiket érdemes választani?
Erre a kérdésre sincs helyes válasz. Ez az ún. Newcomb paradoxon (https://en.wikipedia.org/wiki/Newcomb's_paradox. Kétféle megoldás létezik:
- Érdemes csak a B-t választani, mert akkor ezt jelezte előre az előrejelző, és egymillió dollárt kapunk.
- Érdemes mindkettőt választani, mert a választás pillanatában már a B tartalma fix, és B + 1000 > B.
🍎/(🍌+🍍) + 🍌/(🍎+🍍) + 🍍/(🍎+🍌) = 4
Az ehhez hasonló feladatok általában egyszerű, 3 egyenletből álló 3 ismeretlenes egyenletrendszer viszonylag egyszerű megoldással, amit igazából illik tudni megoldani nemcsak "matekosoknak", hanem nagyjából minden érettségizettnek.
Nos, ez más, és nemcsak 95% nem tudja megoldani, hanem 99,99% biztosan nem, de több kilencest is lehetne írni. A legkisebb ismert megoldása az egyenletnek 79, 80 és 81 számjegyekből áll.
Szobák
Egy körfolyosóból szobák nyílnak. A szobákban vagy világít a lámpa, vagy nem. Tetszőleges szobába benyithatunk, megnézhetjük, hogy világít-e a lámpa, és át is kapcsolhatjuk, de utána be kell csuknunk. Pusztán ebből az információból ill. lehetőséggel élve állapítsuk meg, hogy hány szoba van.
Először is tisztázzuk a feladatot! A feladatot a következő absztrakt módon kell megoldanunk: van egy tetszőleges hosszúságú, 0-kból és 1-ekből álló kör, a kör hosszát kell megállapítani. Egyszerre csak egy cellát látunk, amit módosíthatunk is. A következő iránypok nem megfelelőek:
- Valamennyire kiszűrődik a fény.
- Játszhatunk az izzó hőmérsékletével.
- Valamilyen maximális méretet az ívéből feltételezhetünk.
Ez egy absztrakt feladat, hétköznapi köntösbe csomagolva.
A legegyszerűbb módszer talán a következő:
- A kiinduló állapotban kapcsoljuk fel a villanyt.
- Induljunk jobbra.
- Amíg lekapcsolt villannyal találkozunk, haladjunk jobbra, és számoljuk a megtett lépéseket.
- Ha felkapcsolt villannyal találkozunk, akkor kapcsoljuk le, majd lépjünk vissza annyit, hogy jussunk vissza az eredeti szobáig.
- Ha az eredeti szobában felkapcsolt villannyal találkozunk, akkor az utoljára lekapcsolt villany nem az első szoba villanya. Ekkor ismételjük meg a fenti lépéseket.
- Ha az eredeti szobában lekapcsolt villannyal találkozunk, akkor az azt jelenti, hogy az előzőben körbe értünk, tehát a kör hossza annyi, amennyit utoljára vissza kellett lépni.
Hatos
Egy szabályos dobókockával dobok mindaddig, amíg hatost nem dobok. Aki helyesen tippeli meg előre a dobásaim számát, jutalmat kap. Mennyit érdemes tippelni?
A válasz meglepő: 1-et! Ez esetben egyhatod a nyerési esély. 2 esetén öthatod szorozva egyhatod, 3 esetén öthatod szorozva az előző valószínűsége, stb. tehát annak az esélye, hogy pont annyi legyen a dobások száma, a szám növekedésével minden egyes lépésben öthatodára csökken. A legnagyobb esélye még mindig az 1-nek van.
Oszlopok és lengőkábel
Két 50 méteres oszlop tart egy 80 méter hosszú lengőkábelt, amely középen 10 méterrel van a talajtól. Mi a két oszlop távolsága?
Az ábra szándékosan félrevezető. Mivel 50 méter magasan vannak kifüggesztve és 10 méterre lóg le, a lelógás 40 méter. Viszont mivel a kábel teljes hossza 80 méter, ez csak úgy lehetséges, hogy a két oszlop ugyanott van.
Egyébként ha nem ilyen trükkös lenne, akkor a lánc egyenlete a következő:
$y=a\cdot\cosh\left(\frac{x}{a}\right)+c$
