Kategória: Matek feladatok.
Piros almák, zöld almák
Egy áruházlánc piros és zöld almákat árul. Kezdetben mindkét fajtából 1000 darab van, és ugyanolyan egységáron kínálják. A nap végére a piros almák 65%-át és a zöld almák 45%-át sikerült eladni. A esetet részletesen megvizsgálva arra jutottak, hogy a zöld alma lényegesen jobban fogyott mint a piros alma. Hogyan lehetséges ez?
Tegyük fel, hogy nyár kellős közepén vagyunk a Balaton partján, és az áruházláncnak két üzlete van az adott településen: az egyik a vízparthoz közel, a másik pedig a település központjában.
|
összes alma |
összes eladott alma |
eladott almák aránya |
kínált piros almák |
eladott piros almák |
eladott piros almák aránya |
kínált zöld almák |
eladott zöld almák |
eladott zöld almák aránya |
| vízpart |
1000 |
720 |
72% |
900 |
630 |
70% |
100 |
90 |
90% |
| központ |
1000 |
380 |
38% |
100 |
20 |
20% |
900 |
360 |
40% |
| össz |
2000 |
1100 |
55% |
1000 |
650 |
65% |
1000 |
450 |
45% |
A lényeg, hogy a vízparton sokkal többen vásárolnak mint a központban. A vízparthoz közel inkább piros almákat, a központban pedig inkább zöld almákat árusítanak. Mindkét helyen jobban fogyott a zöld alma. Viszont ahol nagyobb részt piros almát árusítottak, több volt a vásárló, emiatt történt meg az, hogy globálisan jobban fogyott a piros alma mint a zöld.
Ez így semleges példa, nem vált ki érzelmeket. Most helyettesítsük be a a következőket: az áruházlánc legyen egyetem, a zöld almák legyenek férfiak, a piros almák nők, a vízparti üzlet a mérnöki szak, a központi üzlet a pszichológia szak, az eladott alma pedig a felvett diák. Ez már elég komoly társadalmi feszültségekhez vezet. Ehhez hasonló egyébként valóban megtörtént 1972-ben a California egyetemen. A paradoxont Simpson paradoxonnak hívjuk. Az említett esetről is olvashatunk a vonatkozó Wikipédia szócikken (https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson's_paradox), és érdemes a magyar szócikkei is elolvasni (https://hu.wikipedia.org/wiki/Simpson-paradoxon), mert nem egy az egyben az angol szócikk fordítása. Ehhez hasonló problémával találkozunk itt is: https://www.youtube.com/watch?v=sxYrzzy3cq8.
Fej vagy írás
Az egyik játékos megkéri a másikat, hogy szimuláljon 20 érmefeldobást, és véletlenszerűen írjon fejet vagy írást. Majd hajtsa végre ugyanezt tényleges feldobással. Az első játékos megpróbálja kitalálni, hogy melyik sorozat volt a tényleges. Vajon sikerül neki? Van-e 50%-nál nagyobb esélye erre?
Látszólag semmilyen támpontja nincs annak, aki találgat. De próbáltuk már úgy "igazán" összekeverni a Rubik kockát? Ha egy rendet megpróbálunk elrontani, máshol jön ki a rend. Valójában nagyon nehéz teljes káoszt teremteni! És itt jön képbe az emberi pszichológia: ha véletlenszerűnek szeretnénk látszani, akkor ösztönösen kerüljük a mintázatokat. Egy példa a saját sorozatra, amit most kitalálok (1 jelentse a fejet, 0 az írást): 11000101100111010110. Ügyeltem a dolog "szépségére": nincsenek benne mintázatok, és 11 darab 1-es, valamint 9 darab 0 van benne, hogy "ne érje szó a ház elejét". Pedig 20 feldobásnál statisztikailag nagy komoly esélye van annak, hogy mintázatok lesznek benne. Az alábbi sorozatokat Excellel generáltam:
- 11101111001100010100: 4 darab egyes egymás után
- 10100100001111100110: 4 darab nullás egymás után, majd rögtön utána 5 darab egyes egymás után
- 10100110001001110001: talán ez a legszabálytalanabb
- 10111010010111110011: 5 darab egyes egymás után
- 00100100000110011101: 5 darab nullás egymás után
Tehát jó eséllyel lesz olyan sorozat, ahol 4 vagy akár 5 egyforma érték szerepel egymás után. Aki maga próbálja szimulálni a véletlen számot, gondosan kerülni fogja ezeket a mintákat. A valódi véletlen az lesz, amely tartalmaz szabályszerűbb részeket. Így a fenti példában a kézzel létrehozott sorozatot összehasonlítva a többivel, az 5 esetből 4-ben szinte egyértelműen meg lehet mondani, hogy melyik volt a ténylegesen véletlen, és az ötödik esetben is valószínűleg a tényleges véletlenre tippelnék, mert abban picit több szabályszerűséget látok; legyen ez esetben az esélyem 60%. De látható, hogy összegészébe véve bőven 50% feletti találati arányt lehet elérni.
2 = 3
Tekintsük a következő levezetést!
a=b+c
3a-2a = 3b-2b + 3c-2c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3(a-b-c) = 2(a-b-c)
3 = 2
De ez hogy lehet?!
Ez a feladat azok közé a feladatok közé tartozik, melyben elkövettünk egy alig észrevehető hibát, és valójában ezt kell megtalálni! Ebben a példában amikor egyszerűsítettünk a-b-c-vel, akkor az a=b+c miatt valójában nullával egyszerűsítettünk. Addig a pontig jó volt a levezetés, ami 3*0 = 2*0 volt.
Minden ló egyforma színű
Bizonyítás: teljes indukcióval. Az állítás 1 lóra nyilván igaz. Most tekintsünk egy n lóból álló ménest, és rendezzük sorba a lovakat 1-től n-ig. Vegyük ki először az n-edik lovat. Az indukciós feltétel szerint az első n-1 ló egyforma színű. Utána vegyük ki az első lovat. A 2, …, n sorszámú lovak szintén egyforma színűek az indukciós feltevés szerint. A 2, …, n-1 sorszámú lovak mindkét indukciós lépésben benne voltak, és közben nyilván nem változtatták meg a színüket, hiszen nem kaméleonokról, hanem lovakról van szó, így az első ló és az n-edik ló színe is megegyezik a 2, …, n-1 lovak színével, ezáltal nyilván egymással is. Teljes indukcióval tehát beláttuk, hogy minden ló egyforma színű.
Hol a hiba a levezetésben?
Ez a híres lóparadoxon. Az indukciós feltevés n=2-re nem igaz. 2 ló esetén ha először elvesszük az elsőt, majd a másodikat, akkor az a lépés nem igaz, hogy a két sorszám közötti lovakkal egyforma színű az első és az utolsó, így az első és az utolsó egymással is egyforma színű.
Tojások forgatása
Egy tojástartóban van 10 festett tojás, némelyikük fejjel lefelé, némelyikük fejjel felfelé. Két játékos a következő játékot játssza: felváltva lépnek, a soron levő játékosnak ki kell választani egy fejjel lefelé fordított tojást, és meg kell fordítani azt is és az összes tőle jobbra esőt. Az veszít, aki nem tud lépni. Mi a nyerő stratégia?
Ez közel ekvivalens a következővel: egy véletlenszerűen választott, 0 és 1023 közötti számból indulunk, a játékosok felváltva lépnek, és ha az aktuális szám páros, akkor a soron következő játékosnak páratlant, egyébként páros számot kell mondani, ami kisebb mint az aktuális (az eredeti kiírásban ennél szigorúbb a szabály, csak bizonyos számok közül választhatunk). Nyilvánvalóan az veszít, aki a páros számokat kénytelen mondani. A végességet a csökkenő számsorrend garantálja.
Krumpli
Ha a krumpli 99%-ban vizet tartalmaz, és 100 kg krumpliból elpárologtatunk annyi vizet, hogy 98%-ra csökkenjen a víztartalom, akkor hány kg lesz az eredmény?
Az ember ösztönösen rávág egy 99 körüli eredményt, de a valóság mindössze 50 kg! A 100 kg krumpliban 99 kg a víz tömege, és 1 kg a szárazanyag tartalomé. A párologtatás hatására a szárazanyag tartalom nem változik. Valójában annyi vizet kell elpárologtatni, hogy 49 liter víz maradjon, úgy lesz a szárazanyagtartalom 2%, és a víztartalom 98%. Az eredmény tehát 50 kg.
Hajszálak száma
Budapesten van két ember, akinek pont ugyanannyi hajszála van? (A kopaszoktól eltekintve.)
A feladat megoldása adatgyűjtéssel kezdődik:
- Az emberek hajszálainak átlagos száma kb. 100.000. Ez a haj színétől és az életkortól is függ, a szőkéké pl. elérheti a 140.000-et is.
- Budapestet kétmilliós városnak tartjuk, valójában a lakóinak a száma az írás pillanatában kb. 1,75 millió, de feltételezzük, hogy bármikor a jövőben, amikor ezt a szö9veget valaki olvassa, a lakosságszám nagyságrendje ennyi lesz.
- Tegyük fel továbbá, hogy a kopaszok és a több mint 150.000 hajszállal rendelkező száma kisebbséget képeznek, tehát még nélkülük is bőven egymillió felett van Budapest lakosainak a száma.
Most képzeljünk el 150.000 darab számozott vödröt, 1-től 150.000-ig, melyekben azon emberek nevei vannak, akiknek pontosan annyi hajszáluk van, amekkora szám van a vödörre írva. Mivel több mint egymillió nevet szeretnénk elhelyezni a 150.000 vödörben, egészen biztosan lesz olyan vödör, melyben több név is szerepel.
Nem prímszámok egymás után
Létezik egymillió egymást követő nem prím egész szám?
A prímszámok eloszlásáról szóló híres $\frac{x}{\ln x}$ alapján megállapíthatjuk, hogy a prímszámok előfordulása ritkul, és az sejthető, hogy egy bizonyos ponton túl lesz egymillió egymás utáni nem prímszám. Ám ez még csak sejtés. nem bizonyítás. És az említett képlet sem alkalmazható bizonyításként skatulyaelv alapján, mivel az hozzávetőleges és nem pontos érték.
Ám van egy szép konstruktív bizonyítás ennek létezésére. Vegyük egymillió-egy faktoriálisát, és belátjuk, hogy az azt követő második számtól kezdve a következő egymillió szám egyike sem prím. Tehát legyen N = 1.000.001! (egymillió-egy faktor), és 2 ≤ k ≤ 1.000.001. Ekkor N osztható mindegyik k-val, mivel a szorzatban szerepel k. N+k-ból emeljük ki k-t:
N+k = k ∙ (N/k + 1)
N/k egész, tehát N/k+1 is egész, k ≥ 2, tehát találtunk N+k-nak egy felbontását, ezzel bebizonyítva, hogy N+k nem prím. Mivel az állítás igaz mindegyik k-ra, emiatt egyúttal azt is beláttuk, hogy a megkonstruált sorozat egyik eleme sem prím.
Ettől függetlenül persze lehet, hogy vn ennél kisebb számokból álló egymillió elemet tartalmazó nem prím sorozat, sőt, igen valószínű, hogy létezik, de a konstruktív bizonyításban erről láttuk be viszonylag egyszerűen.
Bankjegyek
Mi ér többet: végtelen sok ezer forintos vagy végtelen sok húszezer forintos?
A következőképpen tudjuk bebizonyítani, hogy ugyanannyit ér: készítsünk az ezer forintosokból húsz darabos egységeket. Mivel végtelen sok ezresünk van, végtelen sok ilyen egységet tudunk létrehozni, ami megegyezik a húszezresek darabszámával.
Pingponglabdák
Egy dobozba sorszámozott pingponglabdákat helyezünk. Ha egy olyan labdát teszünk bele, amelyen négyzetszám van, akkor kivesszük a négyzetgyökét. Tehát például miután behelyeztük a 25-ös labdát, akkor kivesszük az 5-öst. Ha ezt végtelen hosszú ideig csináljuk, akkor hány labda lesz a dobozban?
A doboz üres lesz, ugyanis mindegyik számot egyszer teszünk bele, és egyszer vesszük ki.
