Az ember ösztönösen a második opciót választja, valójában viszont az első a helyes megoldás! Jó eséllyel nyilván olyan ember volt, aki olyan vízvezeték szerelő, aki nem könyvelő is egyben, de a fenti választási lehetőségek közül amiatt a könyvelő a helyes válasz, mert a könyvelő és vízvezeték szerelő halmaz a könyvelő részhalmaza.

Az első ötletünk az, hogy 50%, mivel két olyan doboz van, melyben arany van; nyilván az egyiket választottuk, és az egyikben ezüst, a másikban arany található.

Csakhogy ez a gondolkodás rossz! A helyes levezetés a következő! Valójában véletlenszerűen választottuk a 6 rész közül egyenletesen! Tehát 1/6 eséllyel választottuk azt az aranyat, melynek a másik fele ezüst, egyhatod eséllyel a két aranyat tartalmazó doboz egyik felét, és 1/6 eséllyel ugyanannak a doboznak a másik felét. A lényeg, hogy egyenlő eséllyel választottuk mindhármat! Így valójában 3 egyenlő valószínűségű lehetőségünk van, közülük egy esetben ezüst, két esetben arany van. Tehát az arany valószínűsége nem 1/2, hanem 2/3.

Természetesen 50%.

Legalábbis kerekítsünk erre. Most is és a későbbiekben is tekintsünk el a biológiai torzító hatásokról:

• A valóságban több kisfiú születik mint kislány, ám a fiúk esetében magasabb a csecsemőhalandóság.
• Az egypetéjű ikrek picit torzítják a statisztikát.
• Bizonyos betegségek szintén befolyásolják a nemet.
• A társadalmi hatások is befolyásolóak lehetnek.

Kapásból itt is azt a választ adnánk, hogy 50%, mivel kb. ekkora az esélye annak, hogy valaki fiú legyen vagy lány, és ezt nem befolyásolja a testvérei neme. Viszont nem ez a helyes válasz! A kétgyerekes családoknak valójában négyféle kombinációja lehetséges:

• Mindketten fiúk (FF).
• Az idősebb a fiú, a fiatalabb a lány (FL).
• Az idősebb a lány, a fiatalabb a fiú (LF).
• Mindketten lányok (LL).

Ezeknek az előfordulási esélyei a feladat szempontjából egyenlőeknek tekinthetők. Annyit tudunk, hogy a negyedik lehetőség ki van zárva, marad tehát egyenlő eséllyel a FF, FL és LF kombináció. Tehát a három egyforma valószínűségű esetből két esetben a testvér lány, és egy esetben fiú.

A megoldás tehát az, hogy 1/3.

A megoldás látszólag itt is 1/3, hiszen miért befolyásolná a születés napja a feladatot? Csakhogy ez nem igaz! A FF, FL, LF és LL kombinációkat bontsuk alá a születésük napja szerint, 49 részre. Pl. a FF kombinációban ez ezt jelentené:

• Az idősebb fiú hétfőn született, a fiatalabb fiú hétfőn született.
• Az idősebb fiú hétfőn született, a fiatalabb fiú kedden született.
• Az idősebb fiú hétfőn született, a fiatalabb fiú szerdán született.
• …
• Az idősebb fiú kedden született, a fiatalabb fiú hétfőn született.
• Az idősebb fiú kedden született, a fiatalabb fiú kedden született.
• …
• Az idősebb fiú vasárnap született, a fiatalabb fiú vasárnap született.

Ugyanez a másik 3 kombinációval is, így összesen 4*49 = 196, kb. egyenlő valószínűségű kombinációról beszélünk. Foglaljuk össze egy táblázatban a számunkra érdekes kombinációkat!

A táblázat értelmezése: a 196, egyenlő valószínűségű kombinációból egy olyan van, melyben két fiú van és mindketten hétfőn születtek, 49 két lányos család van stb.

• Azoknak a családoknak a száma, ahol van legalább egy hétfőn született fiú: $1 + 6 + 6 + 7 + 7 = 27$. Ezek közül azok száma, amelyben mindkét gyerek fiú: $1 + 6 + 6 = 13$. Az eredmény tehát [[ 13 / 27 ≈ 0,48 ]].

A megoldás tehát kb. 48%.

Folytassuk a születésnapos gondolatmenetet! 1/7 eséllyel születik valaki hétfőn. Az eredmény az alábbi képlet alapján jött ki:

$\frac{\frac{1}{196} + \frac{6}{196} + \frac{6}{196}}{\frac{1}{196} + \frac{6}{196} + \frac{6}{196} + \frac{7}{196} + \frac{7}{196}}$

Egyszerűsítsünk 1/196-tal, és csempésszünk be 7-et mindenhova!

$\frac{1 + (7-1) + (7-1)}{1 + (7-1) + (7-1) + 7 + 7}$

Cseréljük le a 7-est x-re:

$\frac{1 + (x-1) + (x-1)}{1 + (x-1) + (x-1) + x + x}$

Rendezzük át:

$\frac{2x - 1}{4x - 1}$

Itt x jelenti a kiemelt esemény valószínűségének a reciprokát; a hétfős feladatban tehát a 7-et, mert 1/7 eséllyel születik valaki hétfőn.

Valójában ez az x minél nagyobb, annál közelebb vagyunk az 50%-hoz! A statisztika szerint kb. 5000 Gusztáv nevű ember él Magyarországon és a lakosság kb. fele, kb. 5 millió fő férfi. így eben az esetben x=1000 egy jó közelítés. Behelyettesítve: $1999/3999 ≈ 0,49987$.

A végeredmény: kb. 49,99%.

Az ember azt gondolná, hogy ha a fentinek 1, akkor a lentinek se lehet sokkal több, pl. 2-3. De a valóság az, hogy a lenti végtelen, még akkor is, ha nagyon pici számokat adunk össze! Elsőre talán nagyon nehéz ezt felfogni. Vegyük a következő összeget, ami nyilvánvalóan kisebb mint a fenti:

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + …$

Ami összevonva a következő:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + …$

Ez utóbbi már nyilvánvalóan végtelen.

A szomorú valóság az, hogy ez igaz: statisztikailag a barátaink átlagos népszerűsége nagyobb mint a miénk. Ha felrajzolunk egy véletlenszerű hálózatot nem túl sok emberrel, ahol a vonalak a barátságot jelentik, mégpedig úgy, hogy - a valóságot modellezve - legyenek népszerűbb és kevésbé népszerű emberek, majd kiszámoljuk minden ember barátainak átlagos számát, végül minden emberre kiszámoljuk a barátainak a barátszám átlagát, és ennek az átlagát vesszük, azt fogjuk kapni, ez utóbbi nagyobb mint az előbbi. Ez minden emberi kapcsolatra igaz, és a mindenben az is benne van, amire most az olvasó gondol.

Nem, az esélye maradt 1/3. A valós lehetőségek esélyei ugyanis a következőek:

• 1/3 annak az esélye, hogy amiatt választotta B-t, mert C menekül meg.
• 1/3 annak az esélye, hogy A menekül meg. Ekkor viszont 1/2*1/3 = 1*6 annak az esélye, hogy amiatt választotta B-t, mert fej vagy írással ő jött ki.
• Ugyanezt el lehet játszani azzal is, hogy C-re mondta volna, hogy ki fogják végezni, így jön ki a 100%.

Tehát az információ birtokában azt tudjuk, hogy 1/3 eséllyel menekül meg A és 2/3 eséllyel C.

A trükk a következő: a szorzás kommutatív volta miatt X szám Y%-a egyenlő Y szám X%-ával. A példákban:

• 75-nek a 4%-a = 4-nek a 75%-a = négynek a háromnegyede = 3
• 50-nek a 18%-a = 18-nak az 50%-a = 18 fele = 9
• 25-nek a 64%-a = 64-nek a 25%-a = 64 negyede = 16

Amiatt tartom ezt paradoxonnak, mert a vázolt ötlet nélkül nem gondolnánk, hogy fejben is ki lehet számolni, ráadásul ilyen gyorsan.

Elsőre talán meglepő, de ez az összehasonlítás nem tranzitív! Tegyük fel, hogy a 3 kocka az alábbi:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7

Az A kocka 5/9 eséllyel veri B-t, a B ugyancsak 5/9 eséllyel C-t, de C is 5/9 eséllyel veri A-t.

Furcsán hangzik, de le lehet vezetni. Tekintsük az alábbi összegeket:

$S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 …$

$S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …$

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 …$

Minket a harmadik érdekel, de előtte számoljuk ki az első kettőt!

Kezdjük $S_1$-gyel! Ha páros számú összetevőből áll, akkor 0, ha páratlanból, akkor 1. Átlagoljuk a kettőt, és legyen az eredmény fél:

$S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 … = \frac{1}{2}$

Az $S_2$ kiszámolásához alkalmazzuk a következő trükköt. Számoljuk ki a kétszeresét!

$2\cdot S_2 = (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …) + (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …)$

Az összeadásnál csúsztassuk el eggyel az alsót! Ezt az alábbi módon tudom szemléltetni:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …
  + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 …
-------------------------------
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 …

Tehát az egymás alatt levő elemeket összeadva:

$2\cdot S_2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 … = \frac{1}{2}$

Tehát:

$S_2 = \frac{1}{4}$

Most vonjuk ki $S$-ből $S_2$-t:

$S - S_2 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 …) - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …)$

Írjuk egymás alá ismét!

  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 …)
- (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 …)
-----------------------------------
   0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 +16 …

Tehát elemenként kivonva ez adódik:

$S - S_2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 … = 4\cdot(1 + 2 + 3 + 4 …) = 4\cdot S$

Tehát:

$S - S_2 = 4\cdot S$

Behelyettesítve:

$S - \frac{1}{4} = 4\cdot S$

Kifejezve ebből $S$-t:

$S = -\frac{1}{12}$

Tehát:

$\sum_{x=1}^{\infty} x = -\frac{1}{12}$

Hülyeség? Lehet. De pl. a fizikában ezt az egyenlőséget alkalmazzák, pl. a húrelméletben.

A levezetés a https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww videó alapján készült.

A jelenség neve holló-paradoxon, Hempel-paradoxon, vagy beltéri ornitológia. Igazából az, hogy látunk egy fekete hollót, pusztán logikai szempontból nem erősíti azt az állítást, hogy minden holló fekete. Ez az állítás alapból igaz (logikailag még akkor is igaz lenne, ha egyáltalán nem léteznének hollók), és az egyetlen dolog, ami befolyásolja az állítás igazságtartalmát az egy olyan holló, ami nem fekete. Az állítás logikai igazságtartalma szempontjából a fekete holló, a zöld alma és a fekete párduc nem érdekes.