Matek feladatok 3

Kategória: Matek feladatok.

Metrók

Adott állomásról két metró közlekedik számunkra kedvező irányba, az egyik 3, a másik 5 percenként, egymástól függetlenül. Lemegyünk az állomásra egy véletlen időpontban, és arra a metróra szállunk fel, amelyik előbb jön. Várhatóan mennyit kell várnunk?

Tojások leejtése

Van két tökéletesen egyforma tojás, amely bizonyos magasságú emeletről leejtve összetörik, ha viszont annál alacsonyabb emeletről ejtünk le, akárhányszor is próbálkozunk, nem törik szét. Van egy 100 emelet magas épületünk. Minimálisan hány dobásra van szükségünk ahhoz, hogy megállapítsuk, melyik az a legmagasabb emelet, melyről leejtve még nem törik össze?

Lányok életkora

Kovácsnak van három lánya. Szabó, a barátja, szeretné tudni a lányok életkorát. A következő párbeszéd zajlik:
- Az életkoruk szorzata 72.
- Ebből még nem tudom megmondani.
- Az életkoruk összege megegyezik a házszámommal.
Szabó kimegy, megnézi a házszámot, majd ezt mondja:
- Még mindig nem tudom megmondani.
- A legidősebb szereti a vaníliafagyit.
- Most már tudom!

Hogy lehet, hogy a vaníliafagyiból tudta meg Szabó, hogy hány évesek Kovács lányai?

Melyik a nagyobb?

Melyik a nagyobb: $e^\pi$ vagy $\pi^e$? A feladathoz számológépet nem használhatunk, a Négyjegyű függvénytáblázatot viszont igen!

Melyik a nagyobb: $999999999^{1000000000}$ vagy $1000000000^{999999999}$?

i-nek az i-edik hatványa

Mennyi $i^i$?

Időjárás

Egy nap 40% eséllyel napos, 40% eséllyel felhős és 20% eséllyel esős. Az egyes napok időjárásai függetlenek a korábbiaktól. Sorozatnak hívjuk azt, ha egymás utáni napokon ugyanolyan az időjárás. Például a 2 napos, 3 felhős, 1 esős, majd 4 napos időszakban 4 sorozat található. Mekkora a sorozat hossznak várható értéke 10 nap alatt?

Kosárlabda

Valaki nagyon szeretne bekerülni egy kosárlabda csapatba. Az edző azt mondja, hogy csak akkor kerülhet be, ha a jelölt dob néhányat kosárra, és legalább fele bemegy. Négyszer vagy hatszor dobhat; a jelölt dönti el, hogy hányszor dob. A jelölt eddigi statisztikája pont 50%. Mit válasszon és mekkora esélye van bekerülni a csapatba?

Tegyük fel, hogy 80% eséllyel sikeres a dobásunk. Ez esetben a 4-et vagy a 6-ot érdemes választanunk?

Az, hogy hányat dobunk, két ponton egészen biztosan lényegtelen: a 0 és a 100% találati arány esetén. Azt az előzőekben láttuk, hogy 50%-os találati arány esetén érdemes a kevesebb dobást választani, míg 80%-os találati arány esetén a nagyobbat. Minden bizonnyal van valahol az 50% és a 80% között egy dobási arány, ahol mindegy, hogy melyiket választjuk, a 4 vagy a 6 dobást. Mi ez a találati arány?

Kalózok

Öt kalóz (Amaro, Bart, Charlotte, Daniel, Elizabeth) talál egy kincsesládát amiben 100 aranytallér van. A kapitány (kezdetben Amaro) tesz egy javaslatot a zsákmány elosztására, amire mindenki "yarr"-al (igen) vagy "nay"-jal (nem) szavaznak (tartózkodás nincs). Ha a "yarr"-ok száma nagyobb vagy egyenlő, mint a "nay"-ok száma, akkor a javaslat el van fogadva. Ellenkező esetben a kapitányt bedobják a tengerbe és a soron következő kalóz lesz az új kapitány és ő tesz új javaslatot.

  • Mindegyik kalóz elsődleges célja életben maradni.
  • Mindegyik kalóz másodlagos célja, hogy a legtöbb aranyat kapja.
  • Mindegyik kalóz úgy igyekszik szavazni, hogy az aktuális kapitányt a tengerbe dobják.
  • Mindegyik kalóz ismeri a preferenciákat, tökéletesek logikai gondolkozásban és ezt tudják is egymásról.
  • Nem beszélhetnek össze egymással.

Kérdés: milyen javaslatot tegyen Amaro, hogy életben maradjon és a lehető legtöbb aranyat kapja?

Borítékok

Van két lezárt boríték, mindkettőben egy-egy különböző pozitív valós szám. A szám bármi lehet 0 és végtelen között, még a nagyságrendjét sem tudjuk. Az egyik boríték tartalmát megnézhetjük, majd anélkül, hogy a másikat megnéznénk, el kell döntenünk, hogy a felnyitott vagy a lezárt borítékot választjuk. Akkor nyerünk, ha a nagyobb számot tartalmazó borítékot választjuk.
Milyen stratégiát érdemes követnünk ahhoz, hogy a várható nyerési esélyünk több legyen mint 50%?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License