Matek feladatok

Fő kategória: matek.

Néhány gyűjtemény, ahonnan én is szemezgettem:

Téglalapok száma a sakktáblán

Számoljuk meg azt, hogy hány téglalap van a sakktáblán!

Sakktábla lefedése dominókkal

Egy sakktábla tetszőleges átlójából vegyünk el két mezőt. Az így megmaradt sakktáblát le tudjuk-e fedni szabályos dominókkal, hézagmentesen?

Zsinór égetése

Van két zsinórunk, melyeket ha meggyújtunk, nem lineárisan fél-fél óra égnek el. Hogyan tudunk kimérni velük 45 percet?

A légy által megtett út

Van két vonat, az egyik 50 km/h, a másik 70 km/h sebességgel halad egymás felé. A vonatok 120 km-re vannak egymástól. Egy légy elindul a gyorsabb vonat felől a rövidebb vonat felé. Amikor eléri a lassúbb vonatot megfordul a gyorsabb vonat felé, és így tesz egészen az ütközésig. A légy sebessége 100 km/h. Mennyi utat tesz meg összesen a légy?

Almák és narancsok

Van három láda: az egyikben 10 darab alma, a másikban 10 darab narancs, a harmadikban pedig vegyesen 5-5 darab alma ill. narancs van. Mindhárom ládán van egy-egy címke: az egyiken egy alma, a másikon egy narancs, a harmadikon pedig egy alma és egy narancs. Csakhogy a címkék felcserélődtek: mindegyik ládán rossz címke van. A feladat az, hogy a címkét áthelyezzük a megfelelő ládára. Ehhez tetszőleges számú mintavételezést hajthatunk végre. Legalább hány mintavételezésre van szükség ahhoz, hogy biztosan meg tudjuk állapítani, melyik címkét melyik ládára kell tenni?

12 golyó

Van 12 golyó. Ezek közül 11 ugyanakkora tömegű, a 12. tömege pedig egy picit eltér a többitől, de azt nem tudjuk, hogy több, vagy kevesebb. A feladat annak meghatározása, hogy melyik golyó az eltérő, és milyen irányba. Egy kétkarú mérleg segítségével tetszőleges számú mérést végezhetünk. Mennyi a minimális mérésszám, és milyen módszerrel hajtsuk végre a méréseket?

A feladatot próbáljuk meg megoldani ugyanennyi lépésszámmal úgy, hogy előre megadjuk a méréseket, és a három mérés eredményéből határozzuk meg az eredményt!

Cukorkák

Van 3 csomag cukorkánk. Legalább az egyikben 4 grammosak a cukorkák, s legalább az egyikben 5 grammosak. Ezen kívül van egy szuper pontos mérlegünk. Egyetlen méréssel hogyan állapítjuk meg, hogy melyik csomagban hány grammosak a cukorkák?

Érmék

Van 500 darab egydollárosunk, és ezzel 1-től 500 dollárig tetszőleges összeget ki tudunk fizetni. Viszont a magasabb összegeket elég hosszadalmas kiszámolni, ezért elhatározzuk, hogy bezacskózzuk, és a zacskóra ráírjuk, hogy hány darab egy dolláros van benne. Minimálisan hány darab zacskóra van szükség ahhoz, hogy továbbra is tetszőleges összeget ki tudjunk fizetni (a zacskód felbontása nélkül)?

Két fej egymás után

Egy szabályos érmével játszunk fej vagy írás játékot. Akkor állunk meg, ha kétszer egymás után fejet dobtunk. Mekkora a dobások várható száma?

Baktériumok

Van egy baktérium faj, melynek egyedei 25% eséllyel meghalnak, 75% eséllyel osztódnak. Kettő darab ilyen baktériummal indul a kolónia. Mekkora eséllyel halnak ki?

Kinder tojás

Tegyük fel, hogy a Kinder tojásban négyféle játék van, egyforma előfordulási valószínűséggel. Elhatározzuk, hogy egyesével vásárolunk addig, amíg mind a 4 ki nem gyűlik. Várhatóan hány Kinder tojást kell venni?

Kétfejű érme

Van tíz darab érménk: kilenc normális, egy kétfejű. Véletlenszerűen kiválasztunk egy érmét, dobunk vele háromszor, és mindhárom esetben fej az eredmény. Mekkora eséllyel választottuk a kétfejű érmét?

Párbaj

Hárman párbajoznak a következő formában. Sorban lőnek, nem egyszerre. $A$$B$-re, $B$$C$-re és $C$$A$-ra. Ha valaki eltalálja a másikat, akkor a kör folytatódik, tehát ha mondjuk $A$ eltalálja $B$-t, akkor a következő lépésben $C$$A$-ra. Az $A$ és a $C$ találati esélye $50\%$, a $B$$75\%$. A párbaj akkor ér véget, ha már csak egy valaki maradt talpon. $A$ kezd. Mekkora eséllyel nyeri $A$ a párbajt?$\DeclareMathOperator{\nyer}{nyer}\DeclareMathOperator{\kezd}{kezd}\DeclareMathOperator{\halott}{halott}\DeclareMathOperator{\mindenki}{mindenki}\DeclareMathOperator{\el}{\acute{e}l}$

Kockadobás

Egy szabályos hat oldalú dobókockával dobunk. Annyi tábla csokoládét kapunk, amennyi a dobás eredménye. Ha a dobás eredményével elégedetlenek vagyunk, akkor újra dobhatjuk a kockát, de legfeljebb háromszor dobhatunk összesen. Az újradobás kockázatos: ha kisebbet dobunk, akkor is a új dobás az érvényes.
Milyen stratégiával tudjuk maximalizálni a nyereséget, és hány tábla csoki a várható nyeremény?

Repülőgép

Van egy 440 férőhelyes repülőgép 440 utassal. Az elsőnek felszálló utas elveszítette a beszállókártyáját, és véletlenszerűen elfoglal egy ülőhelyet. A továbbiakban ha az éppen felszálló utasnak még szabad az ülőhelye, akkor oda ül, egyébként ő is választ véletlenszerűen egy még szabadon levő ülőhelyet.
Az utolsónak felszálló utas mekkora eséllyel találja szabadon a saját ülőhelyét?

Dzsinn

Találunk egy csodalámpát, megdörgöljük, megjelenik a dzsinn, mond egy 0 és 100 közötti egyenletes eloszlású véletlen számot, és felkínálja, hogy ad annyi kuvaiti dinárt, amennyi a mondott szám. Egészen pontosan két döntési lehetőséget kínál számunkra:

  1. Elfogadjuk a pénzt. Ez esetben a dzsinn csodalámpástul örökre eltűnik.
  2. Nem fogadjuk el a pénzt. Ez esetben egy évre eltűnik, majd utána ismét megjelenik, és felkínálja ugyanezt, természetesen egy másik 0 és 100 közötti véletlen számmal.

Nincs maximálva az újbóli ajánlatok száma, tetszőlegesen játszhatjuk ezt akármeddig. Mi nyilván maximalizálni szeretnénk a nyereséget: nem kis pénzről van szó (100 kuvaiti dinár jelen árfolyamon közel százezer forintot ér). Ugyanakkor a mai pénz számunkra értékesebb, mint a jövőbeli, hiszen ki tudja, mit hoz a holnap. Tegyük fel, hogy van egy belső 90%-os szorzónk: 100 dinár egy év múlva számunkra annyit ér, mint ma 90; 100 dinár két év múlva annyit ér, mint ma 81 stb. Kicsit formálisabban fogalmazva: a két év múlva megkapott 100 dinár jelenértéke számunkra 81 dinár.

Gondolkodunk az ajánlaton. Elsőként a következő stratégiák jutnak eszünkbe:

  • Bármit mond, azt elfogadjuk: a várható nyereségünk ez esetben 50 dinár lesz.
  • Most 50 dinár felett elfogadjuk az ajánlatot, jövőre pedig bármit mond, elfogadjuk: a nyereségünk várható jelenértéke $0,5\cdot 75 + 0,5\cdot 0,9\cdot 50 = 60$ dinár.

A legjobb stratégiánk szerint mennyi a nyereség várható jelenértéke? Milyen stratégiával tudjuk ezt elérni? Pl. most azonnal hány dinár felett érdemes elfogadnunk a dzsinn ajánlatát? Jövőre? Két év múlva?

Interjú

Egy titkárnői álláshirdetésre hárman jelentkeznek. Közöttük egyértelmű a sorrend, hogy ki lenne a legjobb titkárnő, és ez már az interjún kiderül. A főnök egyszerre egy valakit hallgat meg. Viszont ez az interjúzási folyamat teljesen speciális, a főnöknek ugyanis azonnal döntenie kell, hogy az éppen interjúztatott jelöltet felveszi-e vagy sem. (Mindhárom jelölt, ha ajánlatot kap, automatikusan elfogadja.) Tehát pl. ha a főnök az első jelöltet visszautasítja, akkor a második jelölt meghallgatása után (amikor egyértelmű, hogy melyik a jobb) nem hívhatja vissza az elsőt, hogy mégis őt venné fel. Ha a második jelölt meghallgatása után ajánlatot ad neki, akkor a harmadik jelölt meghallgatására nem kerül sor (bár lehet, hogy ő lenne a legalkalmasabb).
A főnöknek milyen interjúzási stratégiát kell alkalmaznia ahhoz, hogy maximalizálja annak esélyét, hogy a legjobb jelöltet válassza? Mekkora ez az esély?

Metrók

Adott állomásról két metró közlekedik számunkra kedvező irányba, az egyik 3, a másik 5 percenként, egymástól függetlenül. Lemegyünk az állomásra egy véletlen időpontban, és arra a metróra szállunk fel, amelyik előbb jön. Várhatóan mennyit kell várnunk?

Tojások leejtése

Van két tökéletesen egyforma tojás, amely bizonyos magasságú emeletről leejtve összetörik, ha viszont annál alacsonyabb emeletről ejtünk le, akárhányszor is próbálkozunk, nem törik szét. Van egy 100 emelet magas épületünk. Minimálisan hány dobásra van szükségünk ahhoz, hogy megállapítsuk, melyik az a legmagasabb emelet, melyről leejtve még nem törik össze?

Lányok életkora

Kovácsnak van három lánya. Szabó, a barátja, szeretné tudni a lányok életkorát. A következő párbeszéd zajlik:
- Az életkoruk szorzata 72.
- Ebből még nem tudom megmondani.
- Az életkoruk összege megegyezik a házszámommal.
Szabó kimegy, megnézi a házszámot, majd ezt mondja:
- Még mindig nem tudom megmondani.
- A legidősebb szereti a vaníliafagyit.
- Most már tudom!

Hogy lehet, hogy a vaníliafagyiból tudta meg Szabó, hogy hány évesek Kovács lányai?

Melyik a nagyobb?

Melyik a nagyobb: $e^\pi$ vagy $\pi^e$? A feladathoz számológépet nem használhatunk, a Négyjegyű függvénytáblázatot viszont igen!

Melyik a nagyobb: $999999999^{1000000000}$ vagy $1000000000^{999999999}$?

Időjárás

Egy nap 40% eséllyel napos, 40% eséllyel felhős és 20% eséllyel esős. Az egyes napok időjárásai függetlenek a korábbiaktól. Sorozatnak hívjuk azt, ha egymás utáni napokon ugyanolyan az időjárás. Például a 2 napos, 3 felhős, 1 esős, majd 4 napos időszakban 4 sorozat található. Mekkora a sorozat hossznak várható értéke 10 nap alatt?

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License