Matek elmélet

Fő kategória: Matek.

Ezen az oldalon a matematikai feladatok megoldásához szükséges elméleti hátteret mutatom be. $\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}\DeclareMathOperator{\arccsc}{arccsc}$

Számok és műveletek

Tekintsük át az alapokat is!

Alapműveletek

A szokásos négy alapművelet az összeadás ($a+b$), a kivonás ($a-b$), a szorzás ($a\cdot b$) és az osztás ($a:b$, $a/b$ vagy $\frac{a}{b}$). Ez utóbbi esetben beszélhetünk egész számok esetén maradékos osztásról (gyakori jelölése $a \% b$), melyben az osztás egész eredményére és a maradékra vagyunk kíváncsiak. Sőt, vannak feladatok, melyhez csak a maradékra van szükségünk.

Faktoriális

A szorzás egy speciális esete az, amikor egész számokat szorzunk 1-től egy adott számig, melyet általában $n$-nel jelölünk. Ezt a műveletet faktoriálisnak nevezzük és $!$ jellel jelöljük. Pl.:

$5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120$

A faktoriális egyébként elég gyorsan "elszáll", pl. $20! = 2.432.902.008.176.640.000$.

Definíció szerint $0! = 1$

Logaritmus és exponenciális

Ez szintén a szorzással kapcsolatos: ha egy adott számot önmagával szorzunk többször, akkor használjuk az exponenciális műveletet. Jelölése: a kitevőben írjuk azt, hogy hányszor szeretnénk összeszorozni ad adott számot önmagával, pl. az $a^n$ azt jelenti, hogy $a\cdot a\cdot …a$, ahol az $a$ összesen $n$-szer szerepel. Pl.:

$2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8$

Tetszőleges nem 0 szám nulladik hatványa egyet ad eredményül:

$x^0 = 1$

Negatív hatványkitevő inverzet jelent, pl.:

$x^{-1} = \frac{1}{x}$
$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Ha a kitevő $0,5$, akkor az gyökvonást jelent:

$x^{0,5} = \sqrt{x}$

A $0^0$ önmagában nem értelmezett (hasonlóan a $\frac{0}{0}$-hoz), így ez egyes sorozatokat tartalmazó feladatok "kedvence".

Exponenciális azonosságok:

  • $x^m\cdot x^n = x^{m+n}$
  • $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
  • $(x^m)^n = x^{m\cdot n}$

Ez egyben mutatja az exponenciális számítási mód lehetőségeit: szorzás helyett összeadás, osztás helyett kivonás és hatványozás helyett szorzás van, ami jelentősen egyszerűsíti a műveleteket. Ezt a tulajdonságát számos esetben ki is hazsnálják, pl. az elektronikában.

A logaritmus az exponenciális inverz művelete: itt az alap és az eredmény az adott, és a kitevőt keressük. Pl. ha $a^b=c$, akkor $\log_a c = b$. Itt az $a$-t alapnak hívjuk. Az előző példát folytatva:

$\log_2 8 = 3$

Ezt így olvassuk: kettes alapú logaritmus nyolc egyenlő három (mert kettő a köbön az nyolc).

Sem az alap, sem az a szám aminek a logaritmusát keressük, nem lehet negatív, valamint az alap nem lehet 1. Az alap ezektől eltekintve elvileg bármi lehet, ám az alábbi három érték a leggyakoribb:

  • $e$: ez az Euler-szám, melynek közelítő értéke 2,71. Jelölése $\ln$.
  • $10$: ez arra ad választ, hogy ha egy szám egyessel kezdődik, és utána csak 0 van, akkor hány 0 van a számban.
  • $2$: a számítástechnika elterjedésével ez a leggyakoribb, és arra ad választ, hogy egy adat hány biten fér el. Gyakori jelölése $\lg$.

Logaritmikus azonosságok:

  • $\log(a\cdot b) = \log a + \log b$
  • $\log\frac{a}{b} = \log a - \log b$
  • $\log a^n = n\cdot\log a$ (ez a logaritmus egyik legjelentősebb szabálya)

A számok különböző halmazai

A legfontosabb számhalmazok az alábbiak:

  • Természetes számok halmaza, ami általában a pozitív egész számokat tartalmazza, ill. bizonyos értelmezés szerint a 0-t is. Jelölése: $\mathbb{N}$, ill. $\mathbb{N}_0$, ha hangsúlyozni szeretnénk azt is, hogy a nullás is beleértjük.
  • Egész számok halmaza, ami tehát a pozitív egészek mellett mindenképpen tartalmazza a 0-t és a negatív számokat is, jelölése $\mathbb{Z}$.
  • Racionális számok halmaza: olyan számokból áll, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként. Jelölése $\mathbb{Q}$. Tetszőleges két racionális szám között van egy másik, viszont nem folytonos.
  • Valós számok halmaza: folytonos a számegyenesen. Jelölése $\mathbb{R}$. Azok a számok, amelyek valósak, de nem racionálisak, irracionálisnak nevezzük, melynek jelölése $\mathbb{I}$, $\mathbb{Q^*}$, esetleg $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Ilyen pl. a $\sqrt{2}$. Azokat a számokat, amelyek nem állíthatóak elő polinomok gyökeként ("nem szerkeszthetőek"), transzcendens számoknak nevezzük. Transzcendens pl. az $e$ vagy a $\pi$.
  • Komplex számok halmaza: jelölése $\mathbb{C}$. Mivel ez egy "nagyobb falat", külön alfejezetben tárgyaljuk.

Komplex számok

Ezeknek a számoknak van valós és egy képzetes részük. A képzetes rész egységének a neve imaginárius egység, jele $i$. Definíció szerint: $i^2 = -1$, azaz $i = \sqrt{-1}$.

Pl. a $3 + 2i$ egy komplex szám.

Az összeadást és kivonást úgy végezzük hogy az alapot és a képzetes részt külön kezeljük. Pl.:
$(3 + 4i) + (2 + 3i) = 5 + 7i$
$(3 + 4i) - (2 + 3i) = 1 + i$

Szorzásnál figyelemebe kell venni az imaginárius egység fenti azonosságát. Pl.:
$(3 + 4i) \cdot (2 + 3i) = 6 + 8i + 9i + 12i^2 = 6 + 17i - 12 = -6 + 17i$

Osztásnál, ha pl. $a + bi$-vel szeretnénk osztani, akkor érdemes megszorozni $\frac{a - bi}{a - bi}$-vel, hogy a nevezőből "kiessen" az imaginárius egység. Pl.
$\frac{3 + 4i}{2 + 3i} = \frac{3 + 4i}{2 + 3i}\cdot\frac{2 - 3i}{2 - 3i} = \frac{6 + 8i - 9i - 12i^2}{4 + 6i - 6i - 9i^2} = \frac{18 - i}{13} = \frac{18}{13} - \frac{1}{13}i$

A komplex számok viszonylag ritkán fordulnak elő gyakorlati matekfeladatokban, viszont rendkívül fontosak más területeken, például az elektronikában, a váltakozó áram tárgyalásánál. Emiatt - és egyéb érdekességek miatt is - pár gondolat erejéig tovább tárgyaljuk.

A komplex számoknak háromféle felírási alakja van.

Algebrai alak

Ez a fent bemutatott $a + bi$ forma. Geometriai ábrázolása a következő: az x-koordináta legyen a valós rész ($a$), az y pedig a képzetes ($b$), és az origóból rajzoljunk egy vektort az $(a, b)$ koordinátába.

TODO: ábra

Trigonometrikus alak

A trigonometriáról később lesz szó; ennek a megértéséhez érdemes azt elolvasni. A trigonometrikus alak a következő:
$z = r\cdot(\cos\varphi + i\cdot\sin\varphi)$

A trigonometrikus alak meghatározása algebrai alakból:
$r = \sqrt{a^2 + b^2}$
$\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$, ha $a > 0$
$\varphi = \pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right)$, ha $a < 0$

Az algebrai alak meghatározása a trigonometrikus alakból:
$a = r\cdot\cos\varphi$
$b = r\cdot\sin\varphi$

Exponenciális alak alak

Sorösszegek határértékével bizonyítható, hogy tetszőleges komplex szám előáll az alábbi formában is:
$z = r\cdot e^{i\varphi}$

Az $r$ és a $\varphi$ a trigonometrikus alak értékei, tehát:
$r\cdot e^{i\varphi} = r\cdot(\cos\varphi + i\cdot\sin\varphi)$

Speciális esetben, ha $r = 1$, akkor
$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\cdot\sin\varphi$

Itt is speciális esetben, ha $\varphi = \pi$, akkor az Euler-formulát kapjuk:
$e^{i\pi} = \cos\pi + i\cdot\sin\pi = -1 + i\cdot 0 = -1$

Azaz:
$e^{i\pi} = -1$

Ez a formula tehát tartalmazza az exponenciális számításnál alapvető fontosságú $e$ konstanst, a trigonometriában alapvető fontosságú $\pi$-t, a komplex számok $i$ imaginárius egységét, az összeadás és a szorzás nullegységét ($0$ ill. $1$), valamint egy negatív előjelet, tehát összehozza egyetlen tömör képletben a matematika szerteágazó részeit.

Az exponenciális alak gyakorlati egyik haszna: a váltakozó áramot ábrázolhatjuk úgy, hogy a valós rész legyen az idő, a képzetes pedig a pillanatnyi áramerősség, az igen gyakori szorzás ill. hatványozás művelet pedig az exponenciális alak használatával összeadásra ill. szorzásra egyszerűsödik. Tehát az elejét átalakítjuk a algebrai alakot exponenciális alakká, ott végezzük el a műveleteket, majd a végén visszaalakítjuk algebrai alakká.

Számok alakjai

A számokat sokféleképpen írhatjuk:

  • A legegyszerűbb a kis egész számok írása, pl. 123.
  • Nagyobb abszolút értékű egész számok esetén érdemes hármasával elválasztani. Pl. az 123456789 nem annyira olvasható, mint az, hogy 123.456.789. Az elválasztó karakterrel kapcsolatban nincs egységes álláspont. Ahol a tizedes karakter a vessző (mint pl a magyarban), ott tipikusan pontot használunk, ahol pedig a tizedespontról beszélünk (pl. az USA-ban), ott az elválasztó a vessző.
  • Még nagyobb értékeket ún. normál alakban szokás megadni. Pl. a 123.000.000.000.000.000.000.000 helyett inkább ezt írjuk: $1,23e^{23}$. Esetleg ügyelve arra, hogy a kitevő a 3 egész szorzata legyen, pl. $123e^{21}$. Ugyanez igaz a nagyon pici abszolút értékű számokra is, ott negatív kitevővel.
  • Nem egész számokat megadhatunk tizedes vesszős alakban, pl. $1,23$, vagy ha racionális, akkor tört alakban is, pl. $3\frac{4}{7}$.
  • Célszerű az olyan konstansokat, mint pl. az $e$ és a $\pi$ mindaddig "cipelni", amíg felhasználásra nem kerül. Pl. a $\pi$ szinusza 0, de a $3,14$-é nem az!
  • A végtelen jele $\infty$.

Trigonometria

Tekintsünk egy derékszögű háromszöget, és annak egy, a derékszögtől eltérő szögét, pl. az alábbi módon:
haromszog.png

Az alábbi szögfüggvényeket definiáljuk:

  • Szinusz ($\sin\alpha$): a szöggel szembeni befogó és az átfogó hányadosa.
  • Koszinusz ($\cos\alpha$): a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa.
  • Tangens ($\tan\alpha$ vagy $\tg\alpha$): a szöggel szembeni befogó és a szög melletti befogó hányadosa.
  • Kotangens ($\cot\alpha$ vagy $\ctg\alpha$): a szög melletti befogó és a szöggel szembeni befogó hányadosa, ez tehát a tangens reciproka.
  • Szekáns ($\sec\alpha$): az átfogó és a szög melletti befogó hányadosa, ez tehát a koszinusz reciproka.
  • Koszekáns ($\csc\alpha$): az átfogó és a szöggel szembeni befogó hányadosa, ez tehát a szinusz reciproka.

Az egyes függvények kinézete $0$ és $2\pi$ között az alábbi (ez végtelenszer ismétlődik):

trigonfv.gif

Néhány gyakrabban előforduló szög szögfüggvényeinek értékeit az alábbi táblázat foglalja össze.

Radián $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$
Fok 30° 45° 60° 90°
$\sin$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
$\tan$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ $\infty$
$\cot$ $\infty$ $\sqrt{3}$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $0$
$\sec$ $1$ $\frac{2\cdot\sqrt{3}}{3}$ $\sqrt{2}$ $2$ $\infty$
$\csc$ $\infty$ $2$ $\sqrt{2}$ $\frac{2\cdot\sqrt{3}}{3}$ $1$

Az alábbi ábra a teljes kördiagram legfontosabb szögeinek koszinusz és szinusz értékeit ábrázolja:

kordiagram.svg

Mindegyik függvénynek van inverze, amely tehát az eredményből határozza meg a szöget:

  • Arkusz-szinusz ($\arcsin x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek szinusza $x$. Ha $-1 \le x \le 1$, akkor végtelen sok megoldása van; a $-\frac{\pi}{2}$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-koszinusz ($\arccos x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek koszinusza $x$. Ha $-1 \le x \le 1$, akkor végtelen sok megoldása van; a $0$ és $\pi$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-tangens ($\arctan x$ vagy $\arctg x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek tangense $x$. Itt az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $-\frac{\pi}{2}$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-kotangens ($\arccot x$ vagy $\arcctg x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek kotangense $x$. Itt is az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $0$ és $\pi$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-szekáns ($\arcsec x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek szekánsa $x$. Itt $x \le -1$ vagy $x \ge 1$, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $0$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti ill. $\frac{\pi}{2}$ és $\pi$ közötti megoldást szokás megadni.
  • Arkusz-koszekáns ($\arccsc x$): azt adja meg, hogy melyik az a szög, melynek koszekánsa $x$. Itt is $x \le -1$ vagy $x \ge 1$, és mindegyiknek végtelen sok megoldása van, melyek közül a $-\frac{\pi}{2}$ és $0$ közötti ill. $0$ és $\frac{\pi}{2}$ közötti megoldást szokás megadni.

Ábrázolásakor a következő konvenciókat alkalmazzuk:

  • Az átfogó egységnyi hosszú.
  • Az $\alpha$ szög csúcsa az origó.
  • A szög melletti befogó az x-koordinátán van.
  • A 0° maga az x-koordináta, az origótól jobbra, és az óramutató járásával ellenkező irányba nő.

A legfontosabb összefüggések az alábbiak (ezeket érdemes megjegyezni):

  • $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$
  • $\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$
  • $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
  • $\tan\alpha\cot\alpha = 1$
  • $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

További összefüggések (referenciaként):

  • Két szög összegének ill. különbségének összefüggései:
    • $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cdot\cos\beta \pm \cos\alpha\cdot\sin\beta$
    • $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cdot\cos\beta \pm \sin\alpha\cdot\sin\beta$
    • $\tan(\alpha\pm\beta) = \frac{tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\cdot\tan\beta}$
    • $\cot(\alpha\pm\beta) = \frac{cot\alpha \pm \cot\beta \mp 1}{\cot\beta\ \pm cot\alpha}$
  • Két szögfüggvény összegének ill. különbségének szorzattá alakítása:
    • $\sin\alpha \pm \sin\beta = 2\cdot\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac{\alpha\mp\beta}{2}$
    • $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\cos\alpha - \cos\beta = -2\cdot\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
    • $\tan\alpha \pm \tan\beta = \frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}$
    • $\cot\alpha \pm \cot\beta = \frac{\sin(\beta\pm\alpha)}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}$
  • Kétszeres szögek összefüggései:
    • $\sin 2\alpha = 2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$
    • $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$
    • $\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
    • $\cot 2\alpha = \frac{\ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}$
  • Félszögek összefüggései:
    • $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}$
    • $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}$
    • $\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$
    • $\cot\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}$

Tetszőleges háromszögre, ahol az oldalak hosszai $a$, $b$ és $c$, a velük szemközti szögek jelölése pedig $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$, érvényesek az alábbi összefüggések:

  • Szinusztétel: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$, ami egyébként a háromszög köré írt kör sugarával egyezik meg.
  • Koszinusztétel: $c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot\cos\gamma$
  • Tangenstétel: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}{2}}{\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}$

Egyenletek és egyenletrendszerek

A feladatok többségének megoldásához szükség van egyenletek, egyenletrendszerek felírására, és tudnunk kell azt megoldani. A megoldáshoz vezető utat levezetésnek hívjuk.

Az egyenlet egy egyenlőségjellel összekapcsolt két kifejezés. Ebben tipikusan van egy ismeretlen, amit többnyire $x$-szel szoktunk jelölni. Például $x+2=5$, melynek megoldása $x=3$.

Egyenlet rendezési szabályok

Az egyenleteket többnyire nem tudjuk ránézésre megoldani, emiatt fontos, hogy tisztában legyünk az alapvető egyenletrendezési szabályokkal.

Ugyanazt az értéket hozzáadhatjuk az egyenlet mindkét oldalához (vagy kivonjuk belőle). Leggyakrabban ezt úgy hajtjuk végre, hogy egy tag "eltűnjön" az egyenlet egyik oldaláról, melynek hatására az egyenlet másik oldalán ellenkező előjellel "megjelenik". Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a tagot "átvisszük" az egyenlet egyik oldaláról a másikra. A bevezetőben bemutatott példában valójában ezt alkalmaztuk: a kettest "átvittük" az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalára. Formálisan: vonjunk ki 2-t (ill. adjunk hozzá -2-t) az egyenlet mindkét oldalából: $x+2-2=5-2$, amiből adódik az eredmény: $x=3$. Fontos, hogy kialakuljon bennünk atomi lépésként a tag "átvitele", azaz a kiinduló feladatból egyből az $x=5-2$ következzen.

Ugyanazzal az értékkel megszorozhatjuk az egyenlet mindkét oldalát (ill. oszthatunk vele). Például ha az egyenletünk $2x=6$, akkor 2-vel osztva kapjuk: $\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}$. Itt az egyenlet bal oldalát "egyszerűsíthetjük" kettővel, a jobb oldalán pedig elvégezzük az osztást, így kapjuk a végeredményt: $x=3$. Hasonlóan a tag átviteléhez, kellő gyakorlatot kell szereznünk ahhoz, hogy ez a művelet is a fejünkben atomi legyen, tehát a $2x=6 => x=\frac{6}{2}=3$. (A $=>$ a következtetés jele, és agy olvassuk: "ebből az következik, hogy".)

Az itt bemutatott két módszert célszerű úgy begyakorolni, hogy a kettő együtt történő alkalmazása is a fejünkben atomi művelet legyen. Például $2x-6=0$. Formálisan, lépésről lépésre levezetve először hozzáadunk az egyenlet mindkét oldalához 6-ot ($2x-6+6=0+6 => 2x=6$), majd mindkét oldalát elosztjuk 2-vel ($\frac{2x}{2}=\frac{6}{2} => x=3$). Valójában a feladatok hatékony megoldásához szükség van arra a képességre, hogy már az eredeti feladatba "belelássuk" az $x=\frac{6}{2}$ lépést.

A szorzással ill. osztással kapcsolatban óvatosnak kell lennünk:

  • Ha véletlenül 0-val szorzunk, akkor elveszítjük a feladatot. Persze itt kérdezhetné valaki, hogy ugyan, miért szoroznánk 0-val, de ebbe a csapdába könnyű beleesni. Pl. még nem tudjuk, hogy az eredmény $x=2$ lesz, és megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát $x-2$-vel.
  • Ennél sokkal "veszélyesebb" a 0-val való osztás, ott ugyanis a feladat nem veszik el, hanem rossz eredményt kapunk. Ezt sem úgy kell elképzelni, hogy közvetlenül 0-val osztunk, hanem az előző példát folytatva $x-2$-vel "egyszerűsítünk".

Általában az egyenletek megoldását érdemes úgy kezdeni, hogy az egyenletnek ugyanarra az oldalára "gyűjtjük" átrendezéssel az összes elemet, tehát úgy, hogy az egyenlet jobb oldalán 0 szerepeljen. Utána érdemes összevonni azokat a tagokat, amelyeket össze lehet vonni (pl. ha van egy $5x$ és egy $-3x$, akkor helyette írjunk $2x$-et), ill. elvégezni a műveleteket, valamint végrehajtani a lehetséges egyszerűsítéseket. Az alábbiakban néhány gyakori egyenlet típus ill. azok megoldásai szerepelnek

Lineáris egyenletek

Ezek az egyenlet típusok fordulnak elő leggyakrabban. Ezekben az ismeretlen vagy önmagában áll, vagy valamilyen konstans szorzata. Ezeket pusztán a fenti két szabállyal megoldhatóak.

A másodfokú egyenlet

A második leggyakoribb egyenlet típus. Itt az ismeretlen négyzetes és lineáris tagként is szerepel, de máshogy nem. Átrendezéssel és egyszerűsítésekkel ez mindenképpen felírható az alábbi alakban (ha ezt nem lehet megtenni, akkor az nem másodfokú egyenlet):
$a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$

Ennek 0, 1 vagy 2 megoldása (úgynevezett gyöke) van, ami képletesen azt fejezi ki, hogy ha ábrázolnánk a polinomot, akkor az hol metszi az x-tengelyt. Ez általános esetben 2 pontban metszi, de előfordulhat az is, hogy egyetlen pontban, vagy teljes egészében az x-tengely felett (vagy alatt) van. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:
$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Például:
$x^2-5x+6=0$

Ez esetben $a=1$, $b=-5$ és $c=-6$, amit behelyettesítve a megoldóképletbe, ezt kapjuk:
$x_{1,2} = \frac{-(-5)\pm\sqrt{5^2 - 4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} = \frac{5\pm\sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5\pm 1}{2}$

A két megoldás:
$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$
$x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$

TODO: diagram

Érdemes tudnunk azt, hogy ha az egyenletnek van két gyöke (jelölje ezt mondjuk $i$ és $j$), akkor az mindenképpen átrendezgető a következő formába:
$(x-i)\cdot(x-j)=0$

A fenti példában ez:
$(x-2)\cdot(x-3)=0$

Fordítva: ha sikerül az egyenletet eleve ilyen formára hozni, akkor nem érdemes elvégezni a szorzást, majd a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazni, hiszen közvetlenül le tudjuk olvasni a megoldásokat.

Ha az egyenletnek csak egy megoldása van (ez technikailag azt jelenti, hogy a két megoldás egybe esik), akkor felírható $(x-i)^2=0$ formában. Ha nincs megoldása, akkor nem lehet ilyen szorzattá alakítani.

Magasabb fokú egyenletek

A gyakorlatban igen ritkán fordul elő az, hogy harmad-, negyed- vagy magasabb fokú egyenletet kelljen megoldani. Általában elmondható, hogy ahányad fokú az egyenlet, annyi megoldása van. A harmad- és negyedfokú egyenletnek még van megoldóképlete, mely igen bonyolult, és a másodfokúval szemben nem elvárás, hogy bárki is fejben tartsa, az ötödfokútól kezdve viszont nincs, és bizonyítottan nem is lehet. Ez utóbbit numerikus módszerekkel lehet megoldani: megpróbáljuk "megsejteni", hogy körülbelül hol lehetnek a megoldások, veszünk néhány ilyen értéket, azokat behelyettesítjük, majd növeljük ill. csökkentjük őket, és addig "próbálgatjuk", amíg ki nem jön az eredmény. Számítógéppel eléggé könnyű dolgunk van, mert elég csak ábrázolni az egyenletet, és a hozzávetőleges értékeket onnan le tudjuk olvasni.

Exponenciális

Előfordulhat az is, hogy az ismeretlen a kitevőben szerepel, pl. $2^x=8$. Itt az a kérdés, hogy a kettőnek hányadik hatványa a 8, a megoldás pedig a 3.

A probléma általános megoldása: vegyük mindkét oldal megfelelő alapú logaritmusát. Ha a feladat $a^x=b$ formában adott, akkor $\log_a a^x = \log_a b$. Ebből következik $x\cdot \log_a a = \log_a b$, azaz $x=\log_a b$. Az eredeti feladat megoldása: $x = \log_2 8 = 3$.

Trigonometria

Ritkán fordul elő az, hogy az ismeretlen egy trigonometrikus függvény belsejében található, pl. $\sin x=\frac{1}{2}$. Ez tehát azt jelenti, hogy melyik az a szög, melynek szinusza $\frac{1}{2}$. Ez a számológépeken az $\arcsin$ vagy $\sin^{-1}$ művelet. Itt az alábbiakra ügyeljünk:

  • Az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Tetszőleges megoldáshoz hozzáadjuk a 360° tetszőleges többszörösét, az is megoldás lesz.
  • Általában a 0° és 360° közötti megoldásokat célszerű megadni. Ebben az intervallumban is általában két megoldás van. A fenti példában ez a 30° és a 150°.
  • Gyakori hiba, hogy összekeverjük a fokot a radiánnal. Mindegy, melyiket használjuk, de konzekvensnek kell lennünk. A fenti példa megoldása radiánban kifejezve $\frac{\pi}{6}$ és $\frac{5\pi}{6}$, valamint ezekhez hozzáadott $2\pi$ többszörösei.

Egyenlőtlenségek

Ezek annyiban térnek el az egyenletektől, hogy nem egyenlőségjel van a két kifejezés között, hanem valamilyen egyenlőtlenség (<, >, <= vagy >=). Ez már jóval ritkább a feladatokban, mint az egyenlet, de azért elő-előfordul, és érdemes tisztában lenne ezzel is.

Képletesen egy egyenlőtlenség az egyenest osztja két részre (emlékeztetőül: az egyenlet kijelöl egy vagy több pontot rajta).

Valójában hasonlóan oldjuk meg ezeket is, itt viszont van még egy dolog, amire figyelnünk kell: a negatív értékkel való szorzás ill. osztás, ez esetben ugyanis "megfordul" az egyenlőtlenség "iránya". Ha pl. a feladat az, hogy $-2x < -6$, akkor adódik, hogy -2-vel kell osztani, viszont ez esetben a negatív előjel miatt a kisebb jelből nagyobb lesz: $\frac{-2x}{-2}>\frac{-6}{-2} => x>3$.

Egyenletrendszerek

Egyenletrendszerek esetén több ismeretlen van. Egy egyenletrendszer csak akkor megoldható, ha ugyanannyi független egyenletből áll, mint ahány ismeretlen van benne. Az, hogy az egyenletek függetlenek azt jelenti, hogy egyik sem áll össze a többi lineáris kombinációjaként.

A megoldása mechanikus: veszünk egy tetszőleges egyenletet, abból kifejezzük az egyik ismeretlent (tehát olyan átalakításokat hajtunk végre rajta, hogy az egyenlet egyik oldalán csak az az ismeretlen szerepeljen, a másik oldalán meg ne szerepeljen), majd ezt behelyettesítve az összes többibe eggyel kevesebb egyenletet kapunk eggyel kevesebb ismeretlennel. Végül egyetlen egyenletet kapunk egy ismeretlennel, amit megoldunk, majd "visszapörgetve" behelyettesítjük a korábbiakba, megkapva így az összes ismeretlen értékét.

Példa:
$5x - 2y = 4$
$2x + y = 7$

Átrendezéssel fejezzük ki mondjuk az $y$-t a második egyenletből:
$y = -2x + 7$

Ezt helyettesítsük be az elsőbe:
$5x - 2\cdot(-2x + 7) = 4$
$5x + 4x - 14 = 4$
$9x = 18$
$x = 2$

Majd helyettesítsük vissza az $y = -2x + 7$ képletbe:
$y = -2\cdot 2 + 7 = 3$

Tehát az egyenletrendszer megoldása $x=2$ és $y=3$

A teljesen általános módszernél sok esetben van egyszerűbb. Például sok esetben segít, ha az egyik egyenlethez hozzáadjuk vagy kivonjuk a másikat, esetleg annak többszörösét. Például az első egyenlethez adjuk hozzá a másik kétszeresét, hogy az $y$ "kiessen":
$(5x - 2y) + 2\cdot(2x + y) = 4 + 2\cdot 7$
$5x - 2y + 4x + 2y) = 4 + 14$
$9x = 18$
$x = 2$

Majd vegyünk egy "szimpatikus" egyenletet, és abba helyettesítsük be. A másodikat választom, mert ott az $y$ önmagában szerepel:
$2\cdot2 + y = 7$
$4 + y = 7$
$y = 3$

Ugyanazt kaptuk eredményül. Ez utóbbi módszer nem annyira egzakt, és nem algoritmizálható annyira, mint az első, és nagyon sok gyakorlatra van szükség, hogy igazán "ráérezzünk" arra, hogyan érdemes nekikezdeni.

Sok egyenletből álló, sok ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldására az ún. Gauss-eliminációt vagy Gauss-Jordan-eliminációt érdemes alkalmazni, melynek alapötlete a következő:

  • Alakítsuk át az egyenletrendszert úgy, hogy az első helyen mindegyikben az első ismeretlen legyen (vagy ha hiányzik, akkor oda kerüljön 0), a második helyen a második, stb., és az egyenlet jobb oldalán legyen konstans.
  • A konstans tényezőkből készítsünk egy $n$ sorból és $n+1$ oszlopból álló mátrixot.
  • A mátrix második sorából vonjuk ki az első sorának többszörösét úgy, hogy az első oszlop második cellája nulla legyen. Ha pl. az első oszlop első cellája 3, a második oszlop első cellája pedig 6, akkor a második sorból az első sor kétszeresét kell kivonni. Ezt a kivonást második sor mindegyik cellájára végre kell hajtani.
  • Majd ugyanezt hajtsuk végre a harmadik, negyedik stb. sorra is, egészen addig, hogy az első oszlop, az első cellát kivéve, csak 0-t tartalmazzon.
  • Ezt követően hajtsuk végre a második oszlopon is ugyanezt úgy, hogy a második sor második cellája maradjon az, ami volt, és az alatta levőek "nullázódjanak ki".
  • Hajtsuk végre ezt a harmadik, negyedik stb. oszlopra is, egészen $n$-ig.
  • Végrehajthatjuk ezt a főátló felett is; ez esetben csak a főátlóban maradnak nem 0 értékek. A fenti módszert Gauss-eliminációnak, míg ez utóbbit Gauss-Jordan-eliminációnak hívjuk.
  • Az egyes műveletek előtt a következő lépést is végrehajthatjuk: osszuk el az adott sor elemeit az éppen aktuális átlós cella értékével. Ezáltal az 1 lesz. Ez egyrészt megkönnyíti az eliminálást, másrészt közvetlenebbül adódik a végeredmény, ugyanis a mátrix főátlója csupa 1-es, az azon kívüli elemek pedig csupa 0-k lesznek.
  • Olvassuk le az eredményt. Gauss-elimináció esetén az utolsó sorból adódik az utolsó oszlop ismeretlenének az értéke, majd behelyettesítéssel az utolsó előtt stb. Gauss-Jordan-elimináció esetén behelyettesíteni sem kell, ha pedig még osztottunk is a műveletek előtt, akkor az $n+1.$ oszlop egyből adja a végeredményt, fentről lefelé.

Egyenlőtlenség rendszerek

Rendkívül ritka. Itt több ismeretlenről és több egyenlőtlenségről van szó. Általános esetben lehet több egyenlőtlenség mint egyenlet. Képletesen: két ismeretlent tartalmazó egyenlőtlenség a síkot két részre osztja. Ha van pl. három egyenlőtlenség két ismeretlennel, akkor a megoldásokat három irányból is "beszorítja", így a megoldás egy háromszög lesz a síkban. Három ismeretlenből álló egyenlőtlenség rendszert leginkább úgy lehet elképzelni, hogy a teret osztja síkokkal több részre, és megfelelő számú egyenlőtlenség a tér egy részét jelöli ki. Négy vagy annál több ismeretlen tartalmazó egyenlőtlenség rendszert már nehéz képletesen elképzelni, ahhoz megfelelő absztrakciós készségre van szükség.

Függvények

A függvények a matekfeladatok gyakran visszatérő elemei. Persze mindez bújtatottan: a megoldáshoz valamilyen függvényműveletet kell végrehajtani, de erre nekünk kell rájönnünk.

Mi is a függvény? Ahogy a nevéből következik: valami valaminek (vagy valamiknek) a függvénye. Például a hőmérséklet az idő függvénye: télen hidegebb van, mint nyáron, éjjel hidegebb van, mint nappal. A feladatokban egyébként leggyakrabban az idő függvényében történik valami, így ha bármilyen, idővel kapcsolatos eseménnyel találkozunk, akkor jó eséllyel valamilyen függvény műveletet kell végrehajtanunk.

Léteznek többváltozós függvények is. Például a hőmérséklet valójában nem egyvalamitől függ csak, nemcsak az időtől, hanem attól is, hogy hol mérjük. Ez utóbbit pedig leginkább három értékkel tudjuk megadni, pl. szélesség, hosszúság és tengerszint feletti magasság, így - hozzávéve még az időt is - mondhatjuk, hogy a hőmérséklet négy változó függvénye. Többváltozós függvényekkel egyébként elég nehéz dolgoznunk, és így az ilyen feladat igen ritka. Ebben a szakaszban az egyváltozós függvényekre szorítkozunk.

Deriválás

A függvény deriváltja azt jelenti, hogy hogyan változik a függvény. Például ha egy jármű egy adott ponttól távolodik, és a függvény azt mutatja meg, hogy mikor (tehát az idő függvényében) milyen távol van az adott ponttól, akkor a derivált a sebességet adja meg. Ha a függvény a sebesség (tehát a sebesség az idő függvényében, azaz mikor mekkora a jármű sebessége), akkor a derivált a sebesség változása, azaz a gyorsulás.

A deriválást nevezik még differenciálszámításnak is, ami a változásra (különbségre) utal. Többféleképpen jelölik:

  • Aposztróffal:
    • Ha a függvény $f(x)$, akkor a derivált szokásos jele $f'(x)$, $(f(x))'$, vagy csak simán $f'$.
    • Ha - koordinátarendszerben gondolkodva - a függvényt úgy írjuk fel, hogy pl. $y = 2\cdot x + 3$, akkor $y'$.
    • Sokszor közvetlenül magára a képletre alkalmazzuk, pl. $(2\cdot x + 3)'$.
  • $\frac{d}{dx}$ jelöléssel
    • Az $f(x)$ függvényre alkalmazva $\frac{d}{dx}f(x)$
    • A képletre alkalmazva pl. $\frac{d}{dx}[2\cdot x + 3]$
  • A parciális derivált jelölése: $\frac{\partial f}{\partial x}$. Ennek leginkább többváltozós függvények esetén van értelme, pl. ha az $f$ függ mondjuk $x$-től és $y$-tól is, és ezzel azt fejezzük ki, hogy mi csak $x$ szerint szeretnénk deriválni, az $y$-ra konstansként tekintünk. Ennek speciális esete az, amikor a függvény csak $x$-től függ, így néha egyváltozós esetben is használatos ez a jelölés.

A deriválás a legtöbb esetben eléggé mechanikus, visszavezethető néhány alapszabályra. A képletre alkalmazott aposztróf jelöléssel ezek az alábbiak. A felsorolás persze nem teljes, de a gyakorlatban előforduló furfangos matekfeladatok megoldásához ezek többnyire elegendőek.

Deriválási alapszabályok

$c' = 0$
Ez a konstans szabály: tetszőleges konstans deriváltja nulla. Ez közvetlenül adódik a deriválás definíciójából: mivel a derivált a függvény változását jelenti, így ha nem változik a függvény, akkor annak deriváltja nulla.

$(x^n)' = n\cdot x^{n-1}$
Ez a leggyakrabban alkalmazott deriválási szabály, a polinomok deriválásakor. Megértéséhez vegyük a következő két példát:

  • Tegyük fel, hogy egy jármű a 0 időpillanatban a 0 pontban van, az 1 időpillanatban 2 egység távolságra, a 2 időpillanatban 4 egység távolságra, a 3 időpillanatban 6 egység távolságra, és így tovább. Tehát egységnyi idő alatt két egységnyi távolságot tesz meg. Azaz $(2\cdot x)' = 2$.
  • Tegyük fel, hogy a jármű a 0, 1, 2, 3, 4, 5, … időpillanatokban 0, 1, 4, 9, 16, 25, … távolságokban van. A különbségek rendre: 1, 3, 5, 7, 9, …, azaz ahogy távolodunk az origótól, egységnyi időváltozás alatt két egységnyi a különbség. Megfelelő finomítással kijön az $(x^2)' = 2x$ eredmény.

$(a^x)' = \ln(a)\cdot a^x$
Az exponenciális függvény deriválásának speciális esete ez: $(e^x)' = e^x$, azaz az Euler-féle szám alapú exponenciális deriváltja önmaga.

$(log_a(x))' = \frac{1}{x\cdot\ln(a)}$
Ennek ugyancsak speciális esete $a = e$ esetén $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

Trigonometrikus azonosságok

Csak felsorolás szintjén (az első kettő néha előfordul, a többi rendkívül ritka):

  • $(\sin x)' = \cos x$
  • $(\cos x)' = -\sin x$
  • $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$
  • $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$
  • $(\sec x)' = \tan x\cdot\sec x$
  • $(\csc x)' = -\cot x\cdot\csc x$
  • $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arccos x)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
  • $(\arccot x)' = \frac{-1}{1+x^2}$
  • $(\arcsec x)' = \frac{1}{|x|\cdot\sqrt{x^2-1}}$
  • $(\arccsc x)' = \frac{-1}{|x|\cdot\sqrt{x^2-1}}$

Összetett függvény szabályok

Az alábbiakban $f$ és $g$ két, $x$-től függő függvényt jelent, azaz precízebben ezek $f(x)$ és $g(x)$.

$(c\cdot f)' = c\cdot(f)'$
Ez a konstanssal történő szorzás szabálya: a konstans "kiemelhető".

$(f \pm g)' = f' \pm g'$
Az összeadás ill. kivonás szabálya. Például $(3x^2 + 4x - 1)' = (3x^2)' + (4x)' - (1)'$. Ami tovább egyenlő - a már megismert szabályokat alkalmazva - a következővel: $6x + 4$. Megjegyzés: a polinomok deriválása a leggyakoribb deriválási feladat, és ez valóban nagyon jól megjegyezhető és mechanikus is.

$(f \cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'$
Ez a szorzás szabálya. Pl. $(x^2\cdot\ln(x))' = (x^2)'\cdot\ln(x) + x^2\cdot(ln(x))' = 2x\cdot\ln(x) + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\cdot\ln(x) + x$

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}$
Ez az osztás szabálya. Pl. $\left(\frac{3x+2}{4x-1}\right)' = \frac{(3x+2)'\cdot(4x-1) - (3x+2)\cdot(4x-1)'}{(4x-1)^2} = \frac{3\cdot(4x-1) - (3x+2)\cdot 4}{16x^2-8x+1} = \frac{12x - 3 - 12x - 8}{16x^2-8x+1} = \frac{-11}{16x^2-8x+1}$. Az osztás deriváltjának gyakran elég "csúnya" az eredménye.

  • $(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'$

Ez az ún. láncszabály. Sokszor a következő formában szerepel: $(f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)$. A következő jelölés is gyakori és igen kifejező: $\frac{dx}{dy} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$.

Ez a szabály arról szól, hogy hogyan kapcsolunk össze két szabályt. Tegyük fel, hogy az $e^{2x}$ deriváltját szeretnénk kiszámolni! Az $e^x$ és a $2x$ deriváltját meg tudjuk határozni, de a "kettő együtt" már fogósabb. A láncszabályt alkalmazva: $(e^{2x})' = e^{2x}\cdot(2x)' = e^{2x}\cdot 2$.

Integrálás

Az integrálás a deriválás inverz művelete: ha egy függvényt deriválunk, majd az eredményt integráljuk, akkor többé-kevésbé az eredeti függvényt kapjuk eredményül. A "többé-kevésbé" amiatt van, mert egy konstanssal eltérhet: mivel a konstans deriváltja nulla, azt nem tudjuk, hogy eredetileg volt-e ott konstans, és ha igen, akkor az mekkora volt. A gyakorlatban viszont ennek nincs igazán jelentősége, ugyanis - mint látni fogjuk - a gyakorlatban ez a konstans kiesik.

Az integrál jele $\int$, a végére pedig $dx$ formában odaírjuk azt, hogy mi szerint integrálunk (tipikusan x szerint). Megkülönböztetünk határozatlan és határozott integrált. Határozatlan esetben az eredeti függvényre vagyunk kíváncsiak, amit primitív függvénynek is szoktunk nevezni, határozott integrál esetén pedig bejön az integrál képletes jelentése: a függvény alatti terület mérete. Erre többnyire két konkrét érték között vagyunk kíváncsiak. Ha pl. a-tól b-ig tartó határozott integrált számítunk, akkor annak jele $\int^b_a$ A terület itt előjeles: az x-tengely fölötti részt pozitív, míg az az alatti részt negatív előjellel vesszük figyelembe. A gyakorlatban leggyakrabban olyan feladatok fordulnak elő, ahol a teljes integrálandó függvény az x-tengely fölött helyezkedik el.

TODO: ábra

Példaként - a deriválásnál leírt út-sebesség példát megfordítva - tegyük fel, hogy adott egy jármű sebessége az idő függvényében, és azt szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi utat tett meg. Ezt a következőképpen tudjuk ábrázolni: az x-tengely jelentse az időt, az y-tengely a sebességet. Ez esetben a függvény azt ábrázolja, hogy a jármű mikor mekkora sebességgel haladt, a függvény alatti terület pedig a megtett út.

Integrálási alapszabályok

Míg a deriválás eléggé mechanikus, addig az integrálás nagyon nem az. Itt is vannak persze szabályok, de sok esetben "rá kell érezni" arra, hogy ez eredetileg egy szorzat, egy osztás vagy egy összetett függvény volt, ami már önmagában nehéz, ezek kombinációját észrevenni pedig különösen az. Az alábbiakban látjuk a legfontosabb integrálási szabályokat. Mindegyik esetben a végén van egy plusz konstans, amit az egyszerűség érdekében nem írok ki.

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$

Ez a leggyakrabban alkalmazott integrálási szabály. Általánosabban: $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\cdot\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}$

$\int\frac{1}{x} dx = \ln|x|$

Adódik a deriválási szabályból. Általánosabban: $\int\frac{1}{ax+b} = \frac{1}{a}\cdot\ln|ax+b|$

$\int e^x dx = e^x$

Az $e^x$ deriváltja önmaga, így az integrálja is önmaga. Általános esetben: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$

A trigonometrikus függvények integrálása

A trigonometrikus függvények integráljai (az első kettőre esetleg szükség lehet, a többire valószínűtlen):

  • $\int\sin x dx = -\cos x$
  • $\int\cos x dx = \sin x$
  • $\int\tan x dx = -\ln|\cos x|$
  • $\int\cot x dx = \ln|\sin x|$
  • $\int\sec x dx = \ln|\sec x + \tan x|$
  • $\int\sec^2 x dx = \tan x$
  • $\int\csc x dx = -\ln|\csc x + \cot x|$
  • $\int\csc^2 x dx = -\cot x$

Összetett függvények

$\int k\cdot f(x)dx = k\cdot\int f(x)dx$

A konstans "kiemelhető" az integrálból.

$\int (f(x)\pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

A deriváláshoz hasonlóan az összeadás ill. kivonás felbontható.

A határozott integrál

Határozott integrál esetén a függvény alatti előjeles területet szeretnénk meghatározni. Ezt leggyakrabban két véges érték között szoktuk megtenni, de természetesen lehetőség van az integrál kiszámítására mínusz végtelentől plusz végtelenig is. Ezt az ún. Newton-Leibniz formula segítségével számolhatjuk ki. Jelölje $f(x)$ az integrálandó függvényt, $F(x)$ pedig annak eredményét, azaz a primitív függvényt. Ez esetben a határozott integrál kiszámításának a képlete:

$\int^b_a f(x)dx = F(b)-F(a)$

Elég tehát a primitív függvénybe annak két végpontján behelyettesíteni, s venni a különbséget. És figyeljük meg, hogy itt "esik ki" a konstans: tetszőleges konstans írhatjuk a primitív függvénybe, a kivonás miatt nincs jelentősége, hogy mit írtunk oda.

Ezt a következőképpen is szoktuk jelölni:

$\int^b_a f(x)dx = [F(x)]^b_a$

Példa: egy jármű sebességét az $f(x)=x^2$ függvény írja le, a feladat pedig a jármű által megtett út kiszámítása az első 3 másodpercben.

Megoldás: először számoljuk ki a megadott függvény primitív függvényét: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + c$. Helyettesítsünk be 3-at: $\frac{3^3}{3} = 9$, valamint 0-t: $\frac{0^3}{3} = 0$, majd vonjuk ki az elsőből a másodikat: $9-0=9$. A jármű tehát 9 egységet tesz meg 3 egységnyi idő alatt.

Másképp levezetve (ez a gyakoribb):

$\int^3_0 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]^3_0 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = 9-0 = 9$

Kombinatorika

Számos matekfeladat megoldása során hasznát vesszük a kombinatorikának. Akár közvetlenül is: ez esetben a kérdés tipikusan úgy hangzik, hogy hányféleképpen fordulhat elő ez vagy az. De sokkal gyakoribb az, amikor valaminek a valószínűségét kell kiszámolni, és az összes valamint a számunkra kedvező esetek számát tudjuk ennek segítségével meghatározni.

Permutáció

A permutáció alatt adott halmaz elemeinek sorba rendezését értjük.

Ismétlés nélküli permutáció

Ez esetben minden elem különböző. Jelölése és kiszámítása:

$P_n = n!$.

Példa: nyolcan futnak egy futóversenyen. Hányféleképpen érhetnek célba?

Megoldás: $P_8 = 8! = 40.320$

Magyarázat: az első helyre nyolcféleképpen tudunk választani, a másodikra hétféleképpen stb.

Ismétléses permutáció

Ez esetben előfordulhatnak olyan elemek, amelyek nem megkülönböztethetőek. Ha egy $n$ elemű halmazban $s$ különböző elem fordul elő úgy, hogy az $i$-edik elem darabszáma $k_i$ (ez esetben $k_1 + k_2 + … + k_s = n$), akkor a jelölése és a képlet:

$P^{(k_1;k_2;… k_s)}_n = \frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot … \cdot k_s!}$

Példa: Nyolcan futnak egy futóversenyen, öt fiú és három lány. A nemek sorrendje hányféleképpen alakulhat?

Megoldás: $P^{(5,3)}_8 = \frac{8!}{5!\cdot 3!} = \frac{40.320}{120\cdot 6} = 56$

Magyarázat: mivel a feladatban a fiúkat ill. a lányokat nem különböztetjük meg (tehát mondjuk Pista harmadik és Jóska ötödik helyezése egyenértékű Pista harmadik és Jóska ötödik helyezésével), a végeredményt el kell osztani az egyes nemek belső sorrendjével, amit pont a nevező ad meg.

Variáció

Azt adja meg, hogy hányféleképpen választhatunk ki $n$ elemből $k$ elemet úgy, hogy számít a kiválasztás sorrendje.

Ismétlés nélküli variáció

Egy elem egyszer fordulhat elő a kiválasztásban. Jelölése és kiszámítása:

$V^k_n = \frac{n!}{\cdot(n-k)!}$

Ez esetben $n$ elem $k$-ad osztályú variációjáról beszélünk.

Példa: nyolcan futnak egy futóversenyen. Hányféleképpen alakulhat a három dobogós helyezés?

Megoldás: $V^3_8 = \frac{8!}{\cdot(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8\cdot 7\cdot 6 = 336$

Magyarázat: első helyezést nyolcan érhetnek el, másodikat heten (az első helyezett nem lehet második is, mert már célba ért), harmadikat hatan. Ezek függetlenek, azaz a győztes nem befolyásolja a második helyezettet, így össze kell őket szorozni.

Ismétléses variáció

Ugyanaz az elem többször is előfordulhat. Jelölése és kiszámítása:

$V^{k,i}_n = n^k$

Példa: nyolcan futnak egy futóversenyen. Ezt háromszor megismétlik, így tehát lesz összesen három első helyezett. Ez hányféleképpen jöhet létre, ha a sorrend is számít? (Tehát tegyünk különbséget a Jóska, Pista, Jóska és a Jóska, Jóska, Pista győzelmek között.)

Megoldás: $V^{3,i}_8 = 8^3 = 512$

Magyarázat: az első, a második és a harmadik versenyben is nyolcan érhetnek célba. A három verseny egymástól független.

Kombináció

Azt adja meg, hogy hányféleképpen képezhetjük egy halmaz részhalmazait. Ez tehát annyiban különbözik csak a variációtól, hogy itt nem vesszük figyelembe a kiválasztás sorrendjét.

Ismétlés nélküli kombináció

Ez esetben ugyanazt az elemet csak egyszer választhatjuk ki. Jelölése és kiszámítása:

$C^k_n = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$

Példa: nyolcan futnak egy futóversenyen. A három leggyorsabb tovább jut a versenysorozat következő fordulójába. Ez hányféleképpen lehetséges?

Megoldás: $C^3_8 = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!\cdot(8-3)!} = 56$

Magyarázat: az ismétlés nélküli variáció példájában, hogy a dobogó sorrendje 336-féleképpen alakulhat. Azonban a továbbjutás szempontjából mindegy, hogy valaki az első vagy a harmadik helyről jut-e tovább, így ezt el kell osztani a három dobogós belső sorrendjével, azaz $3! = 6$-tal, így az eredmény 56.

Ismétléses kombináció

Ez esetben ugyanazt az elemet többször is kiválaszthatjuk. Jelölése és kiszámítása:

$C^{k,i}_n = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!\cdot(n-1)!}$

Példa: nyolcan futnak egy futóversenyen. Ezt háromszor megismétlik, így tehát lesz összesen három első helyezett. Ez hányféleképpen jöhet létre, ha a sorrend nem számít? (Tehát ne tegyünk különbséget a Jóska, Pista, Jóska és a Jóska, Jóska, Pista győzelmek között.)

Megoldás: $C^{3,i}_8 = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\cdot 7!} = 120$

Magyarázat: itt most nem tudjuk kihasználni a belső sorrendet, mert lehet benne ismétlés. Igazán látványos magyarázatát ennek sajnos nem találtam még.

Valószínűségszámítás

Valószínűség

Feltételes valószínűség

TODO: Bayes-tétel

Eloszlásfüggvény

Sűrűségfüggvény

Diszkrét valószínűségi eloszlások

Folytonos valószínűség

Statisztika

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License