Fő kategória: matek.

$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}\DeclareMathOperator{\arcsec}{arcsec}\DeclareMathOperator{\arccsc}{arccsc}$

Áttekintés

A feladatok többségének megoldásához szükség van egyenletek, egyenletrendszerek felírására, és tudnunk kell azt megoldani. A megoldáshoz vezető utat levezetésnek hívjuk.

Az egyenlet egy egyenlőségjellel összekapcsolt két kifejezés. Ebben tipikusan van egy ismeretlen, amit többnyire $x$-szel szoktunk jelölni. Például $x+2=5$, melynek megoldása $x=3$.

Egyenlet rendezési szabályok

Az egyenleteket többnyire nem tudjuk ránézésre megoldani, emiatt fontos, hogy tisztában legyünk az alapvető egyenletrendezési szabályokkal.

Ugyanazt az értéket hozzáadhatjuk az egyenlet mindkét oldalához (vagy kivonjuk belőle). Leggyakrabban ezt úgy hajtjuk végre, hogy egy tag "eltűnjön" az egyenlet egyik oldaláról, melynek hatására az egyenlet másik oldalán ellenkező előjellel "megjelenik". Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a tagot "átvisszük" az egyenlet egyik oldaláról a másikra. A bevezetőben bemutatott példában valójában ezt alkalmaztuk: a kettest "átvittük" az egyenlet bal oldaláról a jobb oldalára. Formálisan: vonjunk ki 2-t (ill. adjunk hozzá -2-t) az egyenlet mindkét oldalából: $x+2-2=5-2$, amiből adódik az eredmény: $x=3$. Fontos, hogy kialakuljon bennünk atomi lépésként a tag "átvitele", azaz a kiinduló feladatból egyből az $x=5-2$ következzen.

Ugyanazzal az értékkel megszorozhatjuk az egyenlet mindkét oldalát (ill. oszthatunk vele). Például ha az egyenletünk $2x=6$, akkor 2-vel osztva kapjuk: $\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}$. Itt az egyenlet bal oldalát "egyszerűsíthetjük" kettővel, a jobb oldalán pedig elvégezzük az osztást, így kapjuk a végeredményt: $x=3$. Hasonlóan a tag átviteléhez, kellő gyakorlatot kell szereznünk ahhoz, hogy ez a művelet is a fejünkben atomi legyen, tehát a $2x=6 => x=\frac{6}{2}=3$. (A $=>$ a következtetés jele, és agy olvassuk: "ebből az következik, hogy".)

Az itt bemutatott két módszert célszerű úgy begyakorolni, hogy a kettő együtt történő alkalmazása is a fejünkben atomi művelet legyen. Például $2x-6=0$. Formálisan, lépésről lépésre levezetve először hozzáadunk az egyenlet mindkét oldalához 6-ot ($2x-6+6=0+6 => 2x=6$), majd mindkét oldalát elosztjuk 2-vel ($\frac{2x}{2}=\frac{6}{2} => x=3$). Valójában a feladatok hatékony megoldásához szükség van arra a képességre, hogy már az eredeti feladatba "belelássuk" az $x=\frac{6}{2}$ lépést.

A szorzással ill. osztással kapcsolatban óvatosnak kell lennünk:

• Ha véletlenül 0-val szorzunk, akkor elveszítjük a feladatot. Persze itt kérdezhetné valaki, hogy ugyan, miért szoroznánk 0-val, de ebbe a csapdába könnyű beleesni. Pl. még nem tudjuk, hogy az eredmény $x=2$ lesz, és megszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát $x-2$-vel.
• Ennél sokkal "veszélyesebb" a 0-val való osztás, ott ugyanis a feladat nem veszik el, hanem rossz eredményt kapunk. Ezt sem úgy kell elképzelni, hogy közvetlenül 0-val osztunk, hanem az előző példát folytatva $x-2$-vel "egyszerűsítünk".

Általában az egyenletek megoldását érdemes úgy kezdeni, hogy az egyenletnek ugyanarra az oldalára "gyűjtjük" átrendezéssel az összes elemet, tehát úgy, hogy az egyenlet jobb oldalán 0 szerepeljen. Utána érdemes összevonni azokat a tagokat, amelyeket össze lehet vonni (pl. ha van egy $5x$ és egy $-3x$, akkor helyette írjunk $2x$-et), ill. elvégezni a műveleteket, valamint végrehajtani a lehetséges egyszerűsítéseket. Az alábbiakban néhány gyakori egyenlet típus ill. azok megoldásai szerepelnek

Lineáris egyenletek

Ezek az egyenlet típusok fordulnak elő leggyakrabban. Ezekben az ismeretlen vagy önmagában áll, vagy valamilyen konstans szorzata. Ezeket pusztán a fenti két szabállyal megoldhatóak.

A másodfokú egyenlet

A második leggyakoribb egyenlet típus. Itt az ismeretlen négyzetes és lineáris tagként is szerepel, de máshogy nem. Átrendezéssel és egyszerűsítésekkel ez mindenképpen felírható az alábbi alakban (ha ezt nem lehet megtenni, akkor az nem másodfokú egyenlet):
$a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$

Ennek 0, 1 vagy 2 megoldása (úgynevezett gyöke) van, ami képletesen azt fejezi ki, hogy ha ábrázolnánk a polinomot, akkor az hol metszi az x-tengelyt. Ez általános esetben 2 pontban metszi, de előfordulhat az is, hogy egyetlen pontban, vagy teljes egészében az x-tengely felett (vagy alatt) van. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:
$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Például:
$x^2-5x+6=0$

Ez esetben $a=1$, $b=-5$ és $c=-6$, amit behelyettesítve a megoldóképletbe, ezt kapjuk:
$x_{1,2} = \frac{-(-5)\pm\sqrt{5^2 - 4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} = \frac{5\pm\sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5\pm 1}{2}$

A két megoldás:
$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$
$x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$

Az alábbi ábra a két megoldás vizuális értelmezését illusztrálja:

Érdemes tudnunk azt, hogy ha az egyenletnek van két gyöke (jelölje ezt mondjuk $i$ és $j$), akkor az mindenképpen átrendezgető a következő formába:
$(x-i)\cdot(x-j)=0$

A fenti példában ez:
$(x-2)\cdot(x-3)=0$

Fordítva: ha sikerül az egyenletet eleve ilyen formára hozni, akkor nem érdemes elvégezni a szorzást, majd a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazni, hiszen közvetlenül le tudjuk olvasni a megoldásokat.

Ha az egyenletnek csak egy megoldása van (ez technikailag azt jelenti, hogy a két megoldás egybe esik), akkor felírható $(x-i)^2=0$ formában. Ha nincs megoldása, akkor nem lehet ilyen szorzattá alakítani.

Magasabb fokú egyenletek

A gyakorlatban igen ritkán fordul elő az, hogy harmad-, negyed- vagy magasabb fokú egyenletet kelljen megoldani. Általában elmondható, hogy ahányad fokú az egyenlet, annyi megoldása van. A harmad- és negyedfokú egyenletnek még van megoldóképlete, mely igen bonyolult, és a másodfokúval szemben nem elvárás, hogy bárki is fejben tartsa, az ötödfokútól kezdve viszont nincs, és bizonyítottan nem is lehet. Ez utóbbit numerikus módszerekkel lehet megoldani: megpróbáljuk "megsejteni", hogy körülbelül hol lehetnek a megoldások, veszünk néhány ilyen értéket, azokat behelyettesítjük, majd növeljük ill. csökkentjük őket, és addig "próbálgatjuk", amíg ki nem jön az eredmény. Számítógéppel eléggé könnyű dolgunk van, mert elég csak ábrázolni az egyenletet, és a hozzávetőleges értékeket onnan le tudjuk olvasni.

Exponenciális

Előfordulhat az is, hogy az ismeretlen a kitevőben szerepel, pl. $2^x=8$. Itt az a kérdés, hogy a kettőnek hányadik hatványa a 8, a megoldás pedig a 3.

A probléma általános megoldása: vegyük mindkét oldal megfelelő alapú logaritmusát. Ha a feladat $a^x=b$ formában adott, akkor $\log_a a^x = \log_a b$. Ebből következik $x\cdot \log_a a = \log_a b$, azaz $x=\log_a b$. Az eredeti feladat megoldása: $x = \log_2 8 = 3$.

Trigonometria

Ritkán fordul elő az, hogy az ismeretlen egy trigonometrikus függvény belsejében található, pl. $\sin x=\frac{1}{2}$. Ez tehát azt jelenti, hogy melyik az a szög, melynek szinusza $\frac{1}{2}$. Ez a számológépeken az $\arcsin$ vagy $\sin^{-1}$ művelet. Itt az alábbiakra ügyeljünk:

• Az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Tetszőleges megoldáshoz hozzáadjuk a 360° tetszőleges többszörösét, az is megoldás lesz.
• Általában a 0° és 360° közötti megoldásokat célszerű megadni. Ebben az intervallumban is általában két megoldás van. A fenti példában ez a 30° és a 150°.
• Gyakori hiba, hogy összekeverjük a fokot a radiánnal. Mindegy, melyiket használjuk, de konzekvensnek kell lennünk. A fenti példa megoldása radiánban kifejezve $\frac{\pi}{6}$ és $\frac{5\pi}{6}$, valamint ezekhez hozzáadott $2\pi$ többszörösei.

Egyenlőtlenségek

Ezek annyiban térnek el az egyenletektől, hogy nem egyenlőségjel van a két kifejezés között, hanem valamilyen egyenlőtlenség (<, >, <= vagy >=). Ez már jóval ritkább a feladatokban, mint az egyenlet, de azért elő-előfordul, és érdemes tisztában lenne ezzel is.

Képletesen egy egyenlőtlenség az egyenest osztja két részre (emlékeztetőül: az egyenlet kijelöl egy vagy több pontot rajta).

Valójában hasonlóan oldjuk meg ezeket is, itt viszont van még egy dolog, amire figyelnünk kell: a negatív értékkel való szorzás ill. osztás, ez esetben ugyanis "megfordul" az egyenlőtlenség "iránya". Ha pl. a feladat az, hogy $-2x < -6$, akkor adódik, hogy -2-vel kell osztani, viszont ez esetben a negatív előjel miatt a kisebb jelből nagyobb lesz: $\frac{-2x}{-2}>\frac{-6}{-2} => x>3$.

Egyenletrendszerek

Egyenletrendszerek esetén több ismeretlen van. Egy egyenletrendszer csak akkor megoldható, ha ugyanannyi független egyenletből áll, mint ahány ismeretlen van benne. Az, hogy az egyenletek függetlenek azt jelenti, hogy egyik sem áll össze a többi lineáris kombinációjaként.

A megoldása mechanikus: veszünk egy tetszőleges egyenletet, abból kifejezzük az egyik ismeretlent (tehát olyan átalakításokat hajtunk végre rajta, hogy az egyenlet egyik oldalán csak az az ismeretlen szerepeljen, a másik oldalán meg ne szerepeljen), majd ezt behelyettesítve az összes többibe eggyel kevesebb egyenletet kapunk eggyel kevesebb ismeretlennel. Végül egyetlen egyenletet kapunk egy ismeretlennel, amit megoldunk, majd "visszapörgetve" behelyettesítjük a korábbiakba, megkapva így az összes ismeretlen értékét.

Példa:
$5x - 2y = 4$
$2x + y = 7$

Átrendezéssel fejezzük ki mondjuk az $y$-t a második egyenletből:
$y = -2x + 7$

Ezt helyettesítsük be az elsőbe:
$5x - 2\cdot(-2x + 7) = 4$
$5x + 4x - 14 = 4$
$9x = 18$
$x = 2$

Majd helyettesítsük vissza az $y = -2x + 7$ képletbe:
$y = -2\cdot 2 + 7 = 3$

Tehát az egyenletrendszer megoldása $x=2$ és $y=3$

A teljesen általános módszernél sok esetben van egyszerűbb. Például sok esetben segít, ha az egyik egyenlethez hozzáadjuk vagy kivonjuk a másikat, esetleg annak többszörösét. Például az első egyenlethez adjuk hozzá a másik kétszeresét, hogy az $y$ "kiessen":
$(5x - 2y) + 2\cdot(2x + y) = 4 + 2\cdot 7$
$5x - 2y + 4x + 2y) = 4 + 14$
$9x = 18$
$x = 2$

Majd vegyünk egy "szimpatikus" egyenletet, és abba helyettesítsük be. A másodikat választom, mert ott az $y$ önmagában szerepel:
$2\cdot2 + y = 7$
$4 + y = 7$
$y = 3$

Ugyanazt kaptuk eredményül. Ez utóbbi módszer nem annyira egzakt, és nem algoritmizálható annyira, mint az első, és nagyon sok gyakorlatra van szükség, hogy igazán "ráérezzünk" arra, hogyan érdemes nekikezdeni.

Sok egyenletből álló, sok ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldására az ún. Gauss-eliminációt vagy Gauss-Jordan-eliminációt érdemes alkalmazni, melynek alapötlete a következő:

• Alakítsuk át az egyenletrendszert úgy, hogy az első helyen mindegyikben az első ismeretlen legyen (vagy ha hiányzik, akkor oda kerüljön 0), a második helyen a második, stb., és az egyenlet jobb oldalán legyen konstans.
• A konstans tényezőkből készítsünk egy $n$ sorból és $n+1$ oszlopból álló mátrixot.
• A mátrix második sorából vonjuk ki az első sorának többszörösét úgy, hogy az első oszlop második cellája nulla legyen. Ha pl. az első oszlop első cellája 3, a második oszlop első cellája pedig 6, akkor a második sorból az első sor kétszeresét kell kivonni. Ezt a kivonást második sor mindegyik cellájára végre kell hajtani.
• Majd ugyanezt hajtsuk végre a harmadik, negyedik stb. sorra is, egészen addig, hogy az első oszlop, az első cellát kivéve, csak 0-t tartalmazzon.
• Ezt követően hajtsuk végre a második oszlopon is ugyanezt úgy, hogy a második sor második cellája maradjon az, ami volt, és az alatta levőek "nullázódjanak ki".
• Hajtsuk végre ezt a harmadik, negyedik stb. oszlopra is, egészen $n$-ig.
• Végrehajthatjuk ezt a főátló felett is; ez esetben csak a főátlóban maradnak nem 0 értékek. A fenti módszert Gauss-eliminációnak, míg ez utóbbit Gauss-Jordan-eliminációnak hívjuk.
• Az egyes műveletek előtt a következő lépést is végrehajthatjuk: osszuk el az adott sor elemeit az éppen aktuális átlós cella értékével. Ezáltal az 1 lesz. Ez egyrészt megkönnyíti az eliminálást, másrészt közvetlenebbül adódik a végeredmény, ugyanis a mátrix főátlója csupa 1-es, az azon kívüli elemek pedig csupa 0-k lesznek.
• Olvassuk le az eredményt. Gauss-elimináció esetén az utolsó sorból adódik az utolsó oszlop ismeretlenének az értéke, majd behelyettesítéssel az utolsó előtt stb. Gauss-Jordan-elimináció esetén behelyettesíteni sem kell, ha pedig még osztottunk is a műveletek előtt, akkor az $n+1.$ oszlop egyből adja a végeredményt, fentről lefelé.

Egyenlőtlenség rendszerek

Rendkívül ritka. Itt több ismeretlenről és több egyenlőtlenségről van szó. Általános esetben lehet több egyenlőtlenség mint egyenlet. Képletesen: két ismeretlent tartalmazó egyenlőtlenség a síkot két részre osztja. Ha van pl. három egyenlőtlenség két ismeretlennel, akkor a megoldásokat három irányból is "beszorítja", így a megoldás egy háromszög lesz a síkban. Három ismeretlenből álló egyenlőtlenség rendszert leginkább úgy lehet elképzelni, hogy a teret osztja síkokkal több részre, és megfelelő számú egyenlőtlenség a tér egy részét jelöli ki. Négy vagy annál több ismeretlen tartalmazó egyenlőtlenség rendszert már nehéz képletesen elképzelni, ahhoz megfelelő absztrakciós készségre van szükség.