Matek

A matematika egy hatalmas terület, szinte képtelenség lenne olyan leírást készíteni, ami annak minden részét érdemben érinti. Így ezt meg sem kísérlem; ezen az oldalon furfangos, érdekes, különleges, sok esetben meglepő matekfeladatok találhatóak. Jó szórakozást!

Néhány gyűjtemény, ahonnan én is szemezgettem:

Feladatok

Ebben a fejezetben olyan feladatokat sorolok fel, amelyekhez kell egy furfangos ötlet.

Téglalapok száma a sakktáblán

Számoljuk meg azt, hogy hány téglalap van a sakktáblán!

Zsinór égetése

Van két zsinórunk, melyeket ha meggyújtunk, nem lineárisan fél-fél óra égnek el. Hogyan tudunk kimérni velük 45 percet?

A légy által megtett út

Van két vonat, az egyik 50 km/h, a másik 70 km/h sebességgel halad egymás felé. A vonatok 120 km-re vannak egymástól. Egy légy elindul a gyorsabb vonat felől a rövidebb vonat felé. Amikor eléri a lassúbb vonatot megfordul a gyorsabb vonat felé, és így tesz egészen az ütközésig. A légy sebessége 100 km/h. Mennyi utat tesz meg összesen a légy?

Lányok életkora

Kovácsnak van három lánya. Szabó, a barátja, szeretné tudni a lányok életkorát. A következő párbeszéd zajlik:
- Az életkoruk szorzata 72.
- Ebből még nem tudom megmondani.
- Az életkoruk összege megegyezik a házszámommal.
Szabó kimegy, megnézi a házszámot, majd ezt mondja:
- Még mindig nem tudom megmondani.
- A legidősebb szereti a vaníliafagyit.
- Most már tudom!

Hogy lehet, hogy a vaníliafagyiból tudta meg Szabó, hogy hány évesek Kovács lányai?

Melyik a nagyobb?

Melyik a nagyobb: $e^\pi$ vagy $\pi^e$? A feladathoz számológépet nem használhatunk, a Négyjegyű függvénytáblázatot viszont igen!

Melyik a nagyobb: $999999999^{1000000000}$ vagy $1000000000^{999999999}$?

Paradoxonok

Ide olyan feladatokat soroltam fel, amelyeknél a megoldás első hallásra igen meglepő. A paradoxon hatás tehát abban rejlik, hogy másra gondolunk mint a valóság.

Gyorsteszt

Tegyük fel, hogy van egy betegség, ami a világon egyenletesen elterjedt, és minden ezredik embert érinti. Van egy teszt, ami kimutatja a betegséget, és ez minden esetben 99% eséllyel ad helyes eredményt. Tehát akár azt mondja, hogy pozitív, akár azt, hogy negatív, a valószínűsége annak, hogy igazat mond, 99%. Egy pozitív teszt mekkora eséllyel jelent tényleges betegséget?

Járvány

Van egy járvány, minden ötszázadik ember beteg. Egy villamoson nyolcvanan utaznak. Mekkora az esélye annak, hogy van köztük legalább egy beteg?

Születésnap

Egy teremben van X ember. Mindenki bemondja a születési időpontját. Ha a teremben legalább 367 ember van, akkor 100% annak az esélye, hogy lesz két olyan ember, akiknek ugyanaz nap van a születésnapjuk. Egyetlen ember esetén nyilván 0. 2 ember esetén olyan 1/365. Vajon minimálisan hány embernek kell lennie a teremben ahhoz, hogy az esély elérje az 50%-ot?

Titkos angyal

Kisebb közösségekben (pl. egy iskolai osztályban) gyakran előfordul az a játék, hogy mindenki húz egy nevet, és a kihúzott személynek kell valamilyen titkos meglepetést készíteni. De vajon mekkora az esélye annak, hogy lesz olyan, aki magát húzza?

Fekete macska

Emlékszünk még Rózsa Gyuri vetélkedő játékára? Három, függönnyel eltakart ablak volt. Kettő mögött egy fekete plüssmacska volt, a harmadik mögött pedig egy ennél sokkal értékesebb ajándék. A játékos kiválasztott egy ablakot. Nem nyitották ki azonnal, hanem a játékvezető elhúzott egy másik függönyt, ahol biztos nem volt ajándék, és a játékosak még volt egy döntési lehetősége: marad az eredetileg választott ablak mellett, vagy megváltoztatja. Pusztán matematikailag mi a helyes stratégia: maradni, változtatni, vagy mindegy?

Távolság két ember között

Véletlenszerűen kiválasztunk egy embert a földön. Az a közvetlen ismerőseim 1 távolságra vannak tőlem (az ismerős alatt kölcsönös ismertséget feltételezünk), az ismerőseim ismerősei (akiket nem ismerek) 2 stb. akkor minimálisan körülbelül hány lépés távolságra van tőlem a kiválasztott ember?

0,99999…

A 0,99999… mennyivel kisebb mint 1?

Miből van több, páros számból vagy egész számból?

A páros számok: …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …. Az egész számok: …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Nyilvánvalóan kétszer annyi egész szám van mint páros szám. Vagy mégse?

Számjegyek előfordulása

Vegyük a következő játékot. Írjunk fel számokat ugyanarról a mennyiségről. Pl. vegyünk véletlenszerűen mondjuk ezer települést a világon, és írjuk fel a lakosainak a számát. Vagy menjünk be egy boltba, és írjuk fel az ott talált árakat (ez esetben értelemszerűen kerekítve, pl. a 299,95-öt 300-nak véve). Majd rendezzük 9 kupacba az így kapott számokat az első számjegye alapján. Milyen lesz az eloszlása ezeknek a kupacoknak?

Csőrepedés

Múltkor csőrepedés volt egy ismerősömnél. Kihívott egy embert, aki megoldotta a problémát. A kérdés: mi a valószínűbb: az, hogy a kihívott ember egy könyvelő, vagy az, hogy könyvelő és vízvezeték szerelő?

Bertrand doboza

Van három dobozunk, mindhárom két részből áll. Összesen tehát 6 rész van. Mindegyik részben arany vagy ezüst van, a következő eloszlásban:

  • Az első dobozban két arany van.
  • A másodikban egy arany és egy ezüst.
  • A harmadikban két ezüst.

Kihúzunk egy tetszőleges dobozt, azon belül kinyitjuk tetszőlegesen az egyik felét, és azt látjuk, hogy ott egy arany van. Mekkora eséllyel lesz a másik fele is arany?

Testvérek

Kovácséknak van két gyerekük, az idősebbik fiú. Mekkora eséllyel fiú a fiatalabb?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik fiú. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik egy olyan fiú, aki hétfőn született. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik egy olyan fiú, akinek a neve Gusztáv. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Harmonikus sorozat

Ha megesszük egy tábla csoki felét, majd a maradék felét és így tovább, akkor a csoki "sose fogy el". Matematikailag felírva:

(13)
\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … = 1 \end{align}

(Elméletben is: valójában a végtelenben "elfogy".) De vajon mennyi lesz a következő sorozat végeredménye?

(14)
\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + … \end{align}

Vajon a barátaink népszerűbbek mint mi?

Gyakran érezzük azt, hogy mintha nekünk fontosabbak lennének a barátaink, mint mi őnekik. Ez vajon így van?

A három halálraítélt

Van három halálraítélt: A, B és C, akik közül egy valakinek a kormányzó megkegyelmezett, de kettőt ki fognak végezni. A börtönőr tudja, hogy ki kapott kegyelmet, de nem mondhatja meg neki. Az egyik elítélt megkéri a börtönőrt a következőre: mondja meg, hogy a másik kettő közül kit fognak biztosan kivégezni. Ha mindkettőt (tehát ő maga az, aki kegyelmet kap), akkor fej vagy írással válasszon egyet véletlenszerűen. A börtönőr azt mondja, hogy a B rabot ki fogják végezni. Az elítélt így okoskodik: az ő esélye a menekülésre eredetileg 1/3 volt, de ezzel felment 1/2-re, mert vagy ő menekül meg, vagy a C.

Vajon jól gondolkodott? Ettől az információtól tényleg megnőtt az esélye a túlélésre?

Érdekességek

Fej vagy írás

Az egyik játékos megkéri a másikat, hogy szimuláljon 20 érmefeldobást, és véletlenszerűen írjon fejet vagy írást. Majd hajtsa végre ugyanezt tényleges feldobással. Az első játékos megpróbálja kitalálni, hogy melyik sorozat volt a tényleges. Vajon sikerül neki? Van-e 50%-nál nagyobb esélye erre?

Tojások forgatása

Egy tojástartóban van 10 festett tojás, némelyikük fejjel lefelé, némelyikük fejjel felfelé. Két játékos a következő játékot játssza: felváltva lépnek, a soron levő játékosnak ki kell választani egy fejjel lefelé fordított tojást, és meg kell fordítani azt is és az összes tőle jobbra esőt. Az veszít, aki nem tud lépni. Mi a nyerő stratégia?

2 = 3

Tekintsük a következő levezetést!

a=b+c
3a-2a = 3b-2b + 3c-2c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3(a-b-c) = 2(a-b-c)
3 = 2

De ez hogy lehet?!

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License