Matek

A matematika egy hatalmas terület, szinte képtelenség lenne olyan leírást készíteni, ami annak minden részét érdemben érinti. Így ezt meg sem kísérlem; ezen az oldalon furfangos, érdekes, különleges, sok esetben meglepő matekfeladatok és érdekességek találhatóak. Jó szórakozást!

Néhány gyűjtemény, ahonnan én is szemezgettem:

Feladatok

Ebben a fejezetben olyan feladatokat sorolok fel, amelyekhez kell egy furfangos ötlet.

Téglalapok száma a sakktáblán

Számoljuk meg azt, hogy hány téglalap van a sakktáblán!

Sakktábla lefedése dominókkal

Egy sakktábla tetszőleges átlójából vegyünk el két mezőt. Az így megmaradt sakktáblát le tudjuk-e fedni szabályos dominókkal, hézagmentesen?

Zsinór égetése

Van két zsinórunk, melyeket ha meggyújtunk, nem lineárisan fél-fél óra égnek el. Hogyan tudunk kimérni velük 45 percet?

A légy által megtett út

Van két vonat, az egyik 50 km/h, a másik 70 km/h sebességgel halad egymás felé. A vonatok 120 km-re vannak egymástól. Egy légy elindul a gyorsabb vonat felől a rövidebb vonat felé. Amikor eléri a lassúbb vonatot megfordul a gyorsabb vonat felé, és így tesz egészen az ütközésig. A légy sebessége 100 km/h. Mennyi utat tesz meg összesen a légy?

Almák és narancsok

Van három láda: az egyikben 10 darab alma, a másikban 10 darab narancs, a harmadikban pedig vegyesen 5-5 darab alma ill. narancs van. Mindhárom ládán van egy-egy címke: az egyiken egy alma, a másikon egy narancs, a harmadikon pedig egy alma és egy narancs. Csakhogy a címkék felcserélődtek: mindegyik ládán rossz címke van. A feladat az, hogy a címkét áthelyezzük a megfelelő ládára. Ehhez tetszőleges számú mintavételezést hajthatunk végre. Legalább hány mintavételezésre van szükség ahhoz, hogy biztosan meg tudjuk állapítani, melyik címkét melyik ládára kell tenni?

12 golyó

Van 12 golyó. Ezek közül 11 ugyanakkora tömegű, a 12. tömege pedig egy picit eltér a többitől, de azt nem tudjuk, hogy több, vagy kevesebb. A feladat annak meghatározása, hogy melyik golyó az eltérő, és milyen irányba. Egy kétkarú mérleg segítségével tetszőleges számú mérést végezhetünk. Mennyi a minimális mérésszám, és milyen módszerrel hajtsuk végre a méréseket?

A feladatot próbáljuk meg megoldani ugyanennyi lépésszámmal úgy, hogy előre megadjuk a méréseket, és a három mérés eredményéből határozzuk meg az eredményt!

Cukorkák

Van 3 csomag cukorkánk. Legalább az egyikben 4 grammosak a cukorkák, s legalább az egyikben 5 grammosak. Ezen kívül van egy szuper pontos mérlegünk. Egyetlen méréssel hogyan állapítjuk meg, hogy melyik csomagban hány grammosak a cukorkák?

Érmék

Van 500 darab egydollárosunk, és ezzel 1-től 500 dollárig tetszőleges összeget ki tudunk fizetni. Viszont a magasabb összegeket elég hosszadalmas kiszámolni, ezért elhatározzuk, hogy bezacskózzuk, és a zacskóra ráírjuk, hogy hány darab egy dolláros van benne. Minimálisan hány darab zacskóra van szükség ahhoz, hogy továbbra is tetszőleges összeget ki tudjunk fizetni (a zacskód felbontása nélkül)?

Két fej egymás után

Egy szabályos érmével játszunk fej vagy írás játékot. Akkor állunk meg, ha kétszer egymás után fejet dobtunk. Mekkora a dobások várható száma?

Baktériumok

Van egy baktérium faj, melynek egyedei 25% eséllyel meghalnak, 75% eséllyel osztódnak. Kettő darab ilyen baktériummal indul a kolónia. Mekkora eséllyel halnak ki?

Kinder tojás

Tegyük fel, hogy a Kinder tojásban négyféle játék van, egyforma előfordulási valószínűséggel. Elhatározzuk, hogy egyesével vásárolunk addig, amíg mind a 4 ki nem gyűlik. Várhatóan hány Kinder tojást kell venni?

Kétfejű érme

Van tíz darab érménk: kilenc normális, egy kétfejű. Véletlenszerűen kiválasztunk egy érmét, dobunk vele háromszor, és mindhárom esetben fej az eredmény. Mekkora eséllyel választottuk a kétfejű érmét?

Metrók

Adott állomásról két metró közlekedik számunkra kedvező irányba, az egyik 3, a másik 5 percenként, egymástól függetlenül. Lemegyünk az állomásra egy véletlen időpontban, és arra a metróra szállunk fel, amelyik előbb jön. Várhatóan mennyit kell várnunk?

Tojások leejtése

Van két tökéletesen egyforma tojás, amely bizonyos magasságú emeletről leejtve összetörik, ha viszont annál alacsonyabb emeletről ejtünk le, akárhányszor is próbálkozunk, nem törik szét. Van egy 100 emelet magas épületünk. Minimálisan hány dobásra van szükségünk ahhoz, hogy megállapítsuk, melyik az a legmagasabb emelet, melyről leejtve még nem törik össze?

Lányok életkora

Kovácsnak van három lánya. Szabó, a barátja, szeretné tudni a lányok életkorát. A következő párbeszéd zajlik:
- Az életkoruk szorzata 72.
- Ebből még nem tudom megmondani.
- Az életkoruk összege megegyezik a házszámommal.
Szabó kimegy, megnézi a házszámot, majd ezt mondja:
- Még mindig nem tudom megmondani.
- A legidősebb szereti a vaníliafagyit.
- Most már tudom!

Hogy lehet, hogy a vaníliafagyiból tudta meg Szabó, hogy hány évesek Kovács lányai?

Melyik a nagyobb?

Melyik a nagyobb: $e^\pi$ vagy $\pi^e$? A feladathoz számológépet nem használhatunk, a Négyjegyű függvénytáblázatot viszont igen!

Melyik a nagyobb: $999999999^{1000000000}$ vagy $1000000000^{999999999}$?

Paradoxonok

Ide olyan feladatokat soroltam fel, amelyeknél a megoldás első hallásra igen meglepő. A paradoxon hatás tehát abban rejlik, hogy másra gondolunk mint a valóság.

Gyorsteszt

Tegyük fel, hogy van egy betegség, ami a világon egyenletesen elterjedt, és minden ezredik embert érinti. Van egy teszt, ami kimutatja a betegséget, és ez minden esetben 99% eséllyel ad helyes eredményt. Tehát akár azt mondja, hogy pozitív, akár azt, hogy negatív, a valószínűsége annak, hogy igazat mond, 99%. Egy pozitív teszt mekkora eséllyel jelent tényleges betegséget?

Járvány

Van egy járvány, minden ötszázadik ember beteg. Egy villamoson nyolcvanan utaznak. Mekkora az esélye annak, hogy van köztük legalább egy beteg?

Születésnap

Egy teremben van X ember. Mindenki bemondja a születési időpontját. Ha a teremben legalább 367 ember van, akkor 100% annak az esélye, hogy lesz két olyan ember, akiknek ugyanaz nap van a születésnapjuk. Egyetlen ember esetén nyilván 0. 2 ember esetén olyan 1/365. Vajon minimálisan hány embernek kell lennie a teremben ahhoz, hogy az esély elérje az 50%-ot?

Hajszálak száma

Budapesten van két ember, akinek pont ugyanannyi hajszála van? (A kopaszoktól eltekintve.)

Titkos angyal

Kisebb közösségekben (pl. egy iskolai osztályban) gyakran előfordul az a játék, hogy mindenki húz egy nevet, és a kihúzott személynek kell valamilyen titkos meglepetést készíteni. De vajon mekkora az esélye annak, hogy lesz olyan, aki magát húzza?

Fekete macska

Emlékszünk még Rózsa Gyuri vetélkedő játékára? Három, függönnyel eltakart ablak volt. Kettő mögött egy fekete plüssmacska volt, a harmadik mögött pedig egy ennél sokkal értékesebb ajándék. A játékos kiválasztott egy ablakot. Nem nyitották ki azonnal, hanem a játékvezető elhúzott egy másik függönyt, ahol biztos nem volt ajándék, és a játékosak még volt egy döntési lehetősége: marad az eredetileg választott ablak mellett, vagy megváltoztatja. Pusztán matematikailag mi a helyes stratégia: maradni, változtatni, vagy mindegy?

Távolság két ember között

Véletlenszerűen kiválasztunk egy embert a földön. Az a közvetlen ismerőseim 1 távolságra vannak tőlem (az ismerős alatt kölcsönös ismertséget feltételezünk), az ismerőseim ismerősei (akiket nem ismerek) 2 stb. akkor minimálisan körülbelül hány lépés távolságra van tőlem a kiválasztott ember?

0,99999…

A 0,99999… mennyivel kisebb mint 1?

Miből van több, páros számból vagy egész számból?

A páros számok: …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …. Az egész számok: …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Nyilvánvalóan kétszer annyi egész szám van mint páros szám. Vagy mégse?

Számjegyek előfordulása

Vegyük a következő játékot. Írjunk fel számokat ugyanarról a mennyiségről. Pl. vegyünk véletlenszerűen mondjuk ezer települést a világon, és írjuk fel a lakosainak a számát. Vagy menjünk be egy boltba, és írjuk fel az ott talált árakat (ez esetben értelemszerűen kerekítve, pl. a 299,95-öt 300-nak véve). Majd rendezzük 9 kupacba az így kapott számokat az első számjegye alapján. Milyen lesz az eloszlása ezeknek a kupacoknak?

Csőrepedés

Múltkor csőrepedés volt egy ismerősömnél. Kihívott egy embert, aki megoldotta a problémát. A kérdés: mi a valószínűbb: az, hogy a kihívott ember egy könyvelő, vagy az, hogy könyvelő és vízvezeték szerelő?

Bertrand doboza

Van három dobozunk, mindhárom két részből áll. Összesen tehát 6 rész van. Mindegyik részben arany vagy ezüst van, a következő eloszlásban:

  • Az első dobozban két arany van.
  • A másodikban egy arany és egy ezüst.
  • A harmadikban két ezüst.

Kihúzunk egy tetszőleges dobozt, azon belül kinyitjuk tetszőlegesen az egyik felét, és azt látjuk, hogy ott egy arany van. Mekkora eséllyel lesz a másik fele is arany?

Testvérek

Kovácséknak van két gyerekük, az idősebbik fiú. Mekkora eséllyel fiú a fiatalabb?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik fiú. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik egy olyan fiú, aki hétfőn született. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik egy olyan fiú, akinek a neve Gusztáv. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Harmonikus sorozat

Ha megesszük egy tábla csoki felét, majd a maradék felét és így tovább, akkor a csoki "sose fogy el". Matematikailag felírva:

(27)
\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … = 1 \end{align}

(Elméletben is: valójában a végtelenben "elfogy".) De vajon mennyi lesz a következő sorozat végeredménye?

(28)
\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + … \end{align}

Vajon a barátaink népszerűbbek mint mi?

Gyakran érezzük azt, hogy mintha nekünk fontosabbak lennének a barátaink, mint mi őnekik. Ez vajon így van?

A három halálraítélt

Van három halálraítélt: A, B és C, akik közül egy valakinek a kormányzó megkegyelmezett, de kettőt ki fognak végezni. A börtönőr tudja, hogy ki kapott kegyelmet, de nem mondhatja meg neki. Az egyik elítélt megkéri a börtönőrt a következőre: mondja meg, hogy a másik kettő közül kit fognak biztosan kivégezni. Ha mindkettőt (tehát ő maga az, aki kegyelmet kap), akkor fej vagy írással válasszon egyet véletlenszerűen. A börtönőr azt mondja, hogy a B rabot ki fogják végezni. Az elítélt így okoskodik: az ő esélye a menekülésre eredetileg 1/3 volt, de ezzel felment 1/2-re, mert vagy ő menekül meg, vagy a C.

Vajon jól gondolkodott? Ettől az információtól tényleg megnőtt az esélye a túlélésre?

Százalékszámítás

Segédeszköz nélkül számold ki összesen 10 másodpercen belül az alábbiakat:

  • 75-nek a 4%-a
  • 50-nek a 18%-a
  • 25-nek a 64%-a

Érdekességek

Fej vagy írás

Az egyik játékos megkéri a másikat, hogy szimuláljon 20 érmefeldobást, és véletlenszerűen írjon fejet vagy írást. Majd hajtsa végre ugyanezt tényleges feldobással. Az első játékos megpróbálja kitalálni, hogy melyik sorozat volt a tényleges. Vajon sikerül neki? Van-e 50%-nál nagyobb esélye erre?

Tojások forgatása

Egy tojástartóban van 10 festett tojás, némelyikük fejjel lefelé, némelyikük fejjel felfelé. Két játékos a következő játékot játssza: felváltva lépnek, a soron levő játékosnak ki kell választani egy fejjel lefelé fordított tojást, és meg kell fordítani azt is és az összes tőle jobbra esőt. Az veszít, aki nem tud lépni. Mi a nyerő stratégia?

2 = 3

Tekintsük a következő levezetést!

a=b+c
3a-2a = 3b-2b + 3c-2c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3(a-b-c) = 2(a-b-c)
3 = 2

De ez hogy lehet?!

Mérési skálák

Ebben a szakaszban nem feladatról, hanem egy elméletről van szó, amit Stanley Smith Stevens javasolt egy 1946-os cikkében. Ez a az osztályozásokat 4 csoportba osztja aszerint, hogy milyen műveleteket lehet velük végrehajtani.

A leírásban azt adom vissza, ahogy én megértettem. Számomra a sorrend logikusabb fordítva, mint a szokásos megadás, így ennek alapján adom meg, valamint számora logikusabb elnevezéseket adtam. Másik megközelítést találhatunk a Wikipédia megfelelő oldalain:

Arányskála

Van nullpontja, és értelmezettek rajta az alapműveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás). Ez implicit magába foglalja a sorba rendezhetőséget is: tudjuk, hogy melyik a nagyobb.

A hétköznapi életből példaként vegyük a tömeget! Állíthatjuk az alábbiakat:

  • A 6 kg és a 3 kg különböző.
  • A 6 kg több mint a 3 kg.
  • A 6 kg és a 3 kg különbsége ugyanakkora, mint a 8 kg és az 5 kg különbsége.
  • A 6 kg kétszer akkora, mint a 3 kg.

További példák: idő, hossz, áramerősség.

Az aranyskála sok esetben nem lineáris, hanem logaritmikus. Ezt esetben az összeadás és kivonás nehézkes, a hányados képzés viszont leegyszerűsödik. Ilyen skála pl. a hangerő skála, amit decibelben (dB) szoktuk megadni. A dB valójában egy dimenzió nélküli érték. Jelentése a következő: egy Bel (B) azt jelenti, hogy valami egy másik érték tízszerese. Mivel a deci tizedet jelent, 10 dB jelenti azt, hogy az egyik érték a másik tízszerese. A skálának tehát kell, hogy legyen egy alapja, ami a hang esetén a hallásküszöb ($10^{-12}W/m^2$). Az, hogy az egyik hangerősség 80dB, a másik meg 60dB, azt jelenti, hogy az előző százszor akkora hangerő mint az utóbbi.

Intervallum skála

Nincs nullpontja, ezáltal a szorzás és az osztás sem értelmezett. De a különbségképzés igen, valamint a különbségképzésre visszavezetett összeadás is, és a különbségek összehasonlíthatóak.

A hétköznapi értelembe vett hőmérséklet ebbe a kategóriába tartozik. (A tudományos értelembe vett hőmérséklet nem, mert ott van abszolút nullpont, ezáltal az arányskála kategóriába tartozik, de most ettől tekintsünk el, és a hétköznapi tapasztalatot vegyük alapul.) Állíthatjuk az alábbiakat:

  • A 6°C és a 3°C különböző.
  • A 6°C melegebb (több) mint a 3°C.
  • A 6°C és a 3°C különbsége ugyanakkora, mint a 8°C és az 5°C különbsége.

De nem mondhatjuk a következőt: a 6°C kétszer akkora, mint a 3°C.

Ez utóbbi talán nem világos elsőre, ezért nézzük meg egy kicsit részletesebben! Tekintsünk más mértékegységet! Az arányskálában bemutatott mondatokat át lehet alakítani mondjuk fontba, és (az egyszerűség érdekében az 1 kg-ot 2 fontnak véve) van értelme annak, hogy "a 12 font kétszer akkora, mint a 6 font", és a többi is igaz. De vajon ez alkalmazható-e pl. a Fahrenheit-ra? Lássuk!

  • A 42,8°F és a 37,4°F különböző: ez igaz.
  • A 42,8°F több mint a 37,4°F: ez is igaz.
  • A 42,8°F melegebb (több) mint a 37,4°F: szintén igaz.
  • A 42,8°F kétszer akkora, mint a 37,4°F: ez nyilván nem igaz! Pedig igaznak kellene lennie, ha az az állítás, hogy a "6°C kétszer akkora, mint a 3°C" igaz lenne.

A fentiek alapján tehát a hétköznapi értelembe vett hőmérséklet intervallum skála, de nem arányskála. A tudományos értelembe hőmérséklet esetében - mivel van 0 pontja - lehet kétszerezni, és a 3°C kétszerese közel 280°C, mivel először a 3°C-ot átalakítjuk Kelvinbe (275,15°K), azt megszorozzuk kettővel (552,3°K), majd visszaalakítjuk Celsiusszá (279,15°C).

Egyfajta intervallumskála még az IQ.

Sorrendi skála

A szorzáson és az osztáson túl az összeadás és a kivonás sem értelmezett, viszont sorba rendezhető. Ennél fogva bizonyos statisztikai mérőszámok is (többnyire) értelmezettek, mint pl.:

  • Legkisebb ill. legnagyobb elem.
  • Medián.
  • Gyakoriság.

Példaként vehetjük a katonai rendfokozatokat! Állíthatjuk az alábbiakat:

  • Az altábornagy és a főtörzsőrmester rendfokozat különböző.
  • Az altábornagy magasabb rendfokozat (azaz több) mint a főtörzsőrmester.

Viszont nem képezhetjük a rangfokozatok különbségét, ill. azokat nem tudjuk összehasonlítani. Pl. nem tudjuk megállapítani, hogy melyik két rang között nagyobb a különbség: a dandártábornok és a főhadnagy, vagy az alezredes és a főtörzszászlós. És természetesen olyasmit sem mondhatunk, hogy a százados ötször nagyobb rendfokozat, mint a szakaszvezető.

A statisztikai példáknál, a Magyar Honvédségnél az írás pillanatában alkalmazott rendfokozatokkal kapcsolatban:

  • A legalacsonyabb rendfokozat az őrvezető (ill. az alatti a közkatona, ami rendfokozat nélküli), a legmagasabb pedig a vezérezredes. (Magyarországon nincs tábornagy és marsall sem, amelyek magasabb katonai rendfokozatok.)
  • A fentieket figyelembe véve 19 rendfokozat van, melynek mediánja a 10. elem, ami a hadnagy.
  • A megfelelő minisztériumban pontosan tudják, hogy melyik rendfokozattal hány ember rendelkezik.

További példák: betegségek előrehaladottsági mértékei, ásványok keménysége.

Kategória skála

Semmilyen művelet nem értelmezhető, még a sorba rendezhetőség sem. De két elem között különbséget tudunk tenni.

Példaként vegyük az állampolgárságot! Mondhatjuk, hogy állampolgárságát tekintve külön kategóriába esik a magyar állampolgár, és mondjuk az osztrák-német kettős állampolgár, de nem tudjuk sorba rendezni őket: nincs közöttük egyértelmű sorrendiség. Nem értelmezett a legkisebb elem és legnagyobb elem fogalma sem, így a medián sem. Nyilván nem tudunk különbséget képezni, és szorozni sem.

A statisztikában viszont gyakoriság képezhető: elvileg megállapítható, hogy hány magyar állampolgár van, ahogy az osztrák-német kettős állampolgárok száma is. Ez alapján nyilván sorba rendezhető, de ez nem képez minőségi sorrendet.

Játékelmélet

Fogolydilemma

Az alapprobléma

A fogolydilemma klasszikus példája valahogy így hangzik: egy kirabolt bank előtt két pisztolyos egyént, Alt és Bobot letartóztatják a rendőrök és külön cellába zárják őket, hogy ne tudják egymással egyeztetni a vallomásaikat. A bíróságnak nincs elegendő bizonyítéka ahhoz, hogy elítélje őket bankrablásért, ezért fontos, hogy legalább az egyik gyanúsított beismerje, hogy ők követték el a rablást. Ennek érdekében az ügyész ugyanazt vádalkut ajánlja mindkettőnek:

  • Ha mindketten továbbra is tagadjátok a rablást, akkor tiltott fegyverviselésért egy-egy év börtönbüntetést sózok a nyakatokba.
  • Ha egyikőtök bevallja, hogy ti követtétek el a rablást, akkor a vallomást tevőt szabadon engedem, de a másik húsz év börtönbüntetést kap.
  • Ha mindketten beismerő vallomást tesztek, akkor mindketten öt év szabadságvesztést kaptok.

(A szöveget egy az egyben kimásoltam innen Tóth I. János: Fogolydilemma és szerelem című művéből, ami itt elérhető: http://publicatio.bibl.u-szeged.hu/5003/1/Fogoly%20dilemma%20%C3%A9s%20es%20szerelem.pdf.)

Ezt az ajánlatot mindketten megkapják. Vizsgáljuk meg a lehetőségeket egy adott rab szemszögéből, egyes szám első személyben:

  • Ha vallok, akkor két eset lehetséges:
    • Ha a társam is vall, akkor 5 év börtön vár rám.
    • Ha a társam nem vall, akkor azonnal szabadulok.
  • Ha nem vallok, akkor szintén két eset lehetséges:
    • Ha a társam vall, akkor 20 év börtönbüntetés vár rám.
    • Ha a társam sem vall, akkor 1 év börtön vár rám.

Kicsit megfordítva, a másik szemszögéből:

  • Ha a társam vall, akkor ha én is vallok, 5 év börtön vár rá, egyébként 20 év. Tehát ez esetben érdemes vallanom.
  • Ha a társam nem vall, akkor ha én vallok, azonnal szabadulok, egyébként 1 évig börtönben maradok. Tehát ez esetben is érdemes vallanom.

Ha mindkét bűnöző eljut erre a konklúzióra, akkor mindketten vallani fognak, és 5-5 évig fogban börtönben ülni. Viszont ha egyikük sem vallana, akkor 1-1 évvel megúsznák.

Vizsgáljuk meg most azt az esetet, hogy a rabok ugyanabban a cellában ülnek, tudják, hogy a másik is ugyanazt az ajánlatot kapta, és meg tudják beszélni a dolgot. Ez egy rendkívül érdekes állapot, ugyanis megbeszélhetik a dolgot, hogy mindketten tagadnak, mert így járnak a legjobban. Persze a megállapodást nyilván fel lehet rúgni, ugyanis gondolkodhatnak úgy, hogy "megegyezek a balekkal, ő továbbra is tagadni fog, én meg vallani, és ő itt fog megrohadni a börtönben, amíg én élem világomat". Ezzel megteremtettük a fogolydilemma két szereplő típusát:

  • az együttműködő tartja magát a megállapodáshoz, és a közös hasznot maximalizálja az egyéni haszon maximalizálása helyett, és
  • a versengő, aki felrúgja a megállapodást, és csak a saját érdekét nézi még akkor is, ha a közös végeredmény ezzel alacsonyabb lesz.

A fogolydilemma modellezése

A fogolydilemmákat mátrixszal szokás modellezni: az egyik dimenzió az egyik fél döntése, a másik a másiké, a cellában pedig két érték szerepel: melyik fél mit veszít ill. mit nyer az adott szituációban.

A fent vázolt fogolydilemma veszteségmátrixa az alábbi:

Együttműködik Verseng
Együttműködik 1 / 1 0 / 20
Verseng 20 / 0 5 / 5

Különböző típusú fogolydilemmák

A fent vázolt eset a fogolydilemma egy rendkívül kiélezett és túlegyszerűsített esete. Látni fogjuk, hogy a fogolydilemma nem egy elvont fogalom, ami csak nagyon kiélezett helyzetben fordulhat elő, hanem a hétköznapi életünk része. Egyelőre még elméleti síkon vizsgáljuk meg a lehetőségeket:

  • Ismétlődés: a fenti példában egyszeri hosszú börtönbüntetésről van szó, a hétköznapi életben viszont inkább sok kicsi, folyamatosan ismétlődő fogolydilemmákkal találkozunk. Egy ilyen esetben lényegesen nagyobb a nyomás az együttműködés javára, hiszen ha a felek ma megegyeznek az együttműködésben, de valamelyik fél nem tartja a szavát, akkor holnap lehet, hogy a másik sem fogja.
  • Eredmény: a fenti példában a mátrix valójában büntetés mátrix, ahol veszteséget lehet minimalizálni. Egy másik lehetőség a jutalom, ahol a felek annak maximalizálására törekednek. Sőt, igen tipikus az ellenkező előjelű eredmény: a mátrix egyes celláiban jutalom, másokban büntetés van.
  • Szimmetria: a fenti példában az ajánlat szimmetrikus. A való életben ritka az ennyire tűélesen szimmetrikus helyzet. Pl. egy főnök-beosztott viszonyban általában a beosztott sokkal többet veszíthet mint a főnök. Ezt kb. úgy lehet modellezni, hogy mindkét fél együttműködése esetén (a beosztott rendesen dolgozik) a főnök anyagilag sokkal jobban jár, mint a beosztott; ha a főnök a versengő és a beosztott az együttműködő (magyarán a főnök kirúgja az alkalmazottat) sokkal nagyobb kárt okoz a beosztottnak, mint fordítva, amikor a beosztott mond fel.
  • Többszemélyes: sokkal nehezebb modellezni, de a való életben a fogolydilemmák általában többszemélyesek, ahol minden fél együttműködése eredményezi a legjobb eredményt, de ekkor a legnagyobb a csábítás a versengésre. Jó modell erre a közlegelők tragédiája, amiről lesz szó részletesen.

Fogolydilemmák a hétköznapi életben

Lássunk néhány példát a hétköznapi életből!

  • Fegyverkezési verseny: a hidegháború nem az egyes emberek szintjén jelenik meg, de mivel az elég világot meghatározta úgy 45 éven keresztül, mondhatjuk, hogy ez egy valós fogolydilemma. Mindkét szuperhatalom egyéni érdeke az volt, hogy többet költsön fegyverzekésre, ezáltal rákényszerítve az akaratát a másikra, a közös érdek pedig a leszerelés. Voltak megállapodások, amelyeket vagy betartottak, vagy nem. Hasonlít az eredeti fogolydilemmára, azzal a különbséggel, hogy ez ismétlődő fogolydilemma helyzet: a következő leszerelés tárgyaláson ugyanis figyelembe vették azt, hogy az előzőt a másik mennyire tartotta be.
  • Árleszállítás: tegyük fel, hogy van két, ugyanolyan terméket árusító bolt egymás mellett, pl. két benzinkút az út két oldalán, két élelmiszerbolt stb. Különösen akkor, ha csak adott időpontban van lehetőség árat módosítani, pl. hetente egyszer, ott van a kísértés, hogy árat csökkentsünk, mert akkor ugyanazt a terméket nálunk olcsóbban lehet megvenni, lényegében megduplázódik a forgalom, ami kompenzálja az árcsökkentés okozta veszteséget, sőt, ha az árperiódus hosszú ideig tart, és a másiknak nincs tartaléka, akkor csődbe is mehet, és utána egyeduralkodóként annyit fogunk kérni, amennyit akarunk. Csakhogy ugyanerre a megállapításra juthat a másik is. Itt az együttműködő az, aki tartja a piaci árat, a versengő pedig árat csökkent. Az együttműködésnek egy speciális esete a kartell: ha pl. egy településen van két benzinkút, de értelmesen bejárható távolságban nincs másik, akkor megegyeznek abban, hogy közösen árat emelnek.
  • Nemek harca: abszolút hétköznapi fogolydilemma. Tegyük fel, hogy a párok szeretnének együtt időt tölteni, de a férfinak mások a preferenciái mint a nőnek. Itt a következő esetek vannak: azt csinálnak, amit a férfi szeretne (a férfi a versengő, a nő az együttműködő); azt, amit a nő (a nő a versengő és a férfi az együttműködő); kompromisszumos megoldás születik (mindketten együttműködőek); nem szerveznek közös programot (mindkettő versengő). Ez olyan szempontból egy érdekes helyzet, hogy nem a kompromisszum hozza hosszú távon a legjobb eredményt, hanem az, hogy egyszer az egyik, más alkalommal pedig a másik fél kívánsága teljesüljön. Számmal modellezve: tegyük fel, hogy adott szereplőnek a saját programja 5-öt ér, a másiké 1-et, a kompromisszum meg 2-t. Két kompromisszum egy adott félnek csak 4 pontot ér, míg a másik 6-ot.
  • Vásárlás: sokszor előfordul, hogy a termékek nem teljesen ugyanolyanok, és az eladó dönt a vevő hasznára vagy kárára. Pl. egy étteremben kaphat a vevő kicsivel kevesebb vagy kicsivel több köretet, kisebb vagy nagyobb szelet húst, a piacon szép vagy kicsit fonnyadtabb zöldséget, gyümölcsöt, egy elektronikai boltban egy vadonatúj vagy visszavitt terméket. A vevő dönthet, hogy panaszt tesz vagy sem, ill. hogy legközelebb ott vásárol-e vagy sem. Ez egész sok fogolydilemma típust fed le. Pl. egy menza, különösen ha van egyéb választási lehetőség, tekinthető ismétlődő fogolydilemmának, mivel az ember minden nap enne valahol. Egy mosógép vásárlás viszont lényegében nem ismétlődik, mert tíz éév elteltével már nem biztos, hogy emlékszünk arra a márkára és/vagy boltra, amire megesküdtünk, hogy na onnan soha az életben nem vásárolunk többet. (Már csak amiatt is, mert ha nekünk van igazunk, és tényleg átverik a vevőt, akkor 10 év múlva már szinte biztos, hogy nem fog létezni.)

Egy fogolydilemma játék

Fogolydilemmát játszani is lehet. Ehhez le kell fektetni egy nyereség mátrixot, pl. ezt:

Együttműködik Verseng
Együttműködik 3 / 3 1 / 4
Verseng 4 / 1 2 / 2

Itt jutalompontokat lehet gyűjteni. Hosszú távon mindkét félnek az együttműködés jó, az egyéni érdek viszont a versengést diktálja. Mindegyik játékos mindegyikkel játszik előre meghatározott számú fordulót, pl. 10-et, és beírják a végeredményt. A játék menete: adott fordulóban mindkét fél hátratett kézzel eldönti, hogy abban a fordulóban együttműködik-e vagy verseng, egy ujj legyen az együttműködés ("beérem kevesebbel"), a kettő ujj a versengés ("többet akarok a te károdra"). A végén összeszámolják, hogy ki hány pontot gyűjtött, és aki a legtöbbet, az a győztes.

A legjobb stratégia

Szimmetrikus ismétlődő esetre kialakult egy győztes stratégia. Vajon mi lehet az?

A közlegelők tragédiája

Az alapprobléma

A közlegelők tragédiája a fogolydilemma többszemélyes általánosítása. Az alapeset a következő: adott egy legelő tíz gazda, mindegyik gazdának egy-egy tehene. Egy tehén egy nap 10 liter tejet ad. Ha egy gazda úgy dönt, hogy vesz még egy tehenet, és ugyanazon a legelőn legelteti, akkor egy tehénre kevesebb fű jut, melynek következtében csökken a tej mennyisége: egy-egy tehát már csak 9 liter tejet ad naponta. Minden egyes újabb tehén egy literrel csökkenti a napi tejadagot.

Mindenkinek azt diktálja az egyéni érdeke, hogy vegyen még egy tehenet, a közösségi érdek viszont az, hogy 10 tehénben legyen maximálva a tehénállomány, mert akkor adnak a tehenek összesen legtöbb teje, napi 100 litert.

Közlegelők tragédiája a hétköznapi életben

Az élet számos területét lehet ezzel modellezni, és ez mutatja meg igazán, hogy miért van szükség törvényekre és azok betartatására. Gondoljuk végig az alábbi állításokat a fenti példa figyelembevételével:

  • Ha mindenki más adózik, akkor nekem nem kell, attól még működik az ország.
  • Nem fontos, hogy fizessek a tömegközlekedési eszközökön, hiszen anélkül is megy a busz / villamos / vonat.
  • Teljesen mindegy, hogy autóba ülök-e, mások úgyis sokkal jobban szennyezik a levegőt mint én.

Valójában ebbe a kategóriába esik minden, ami elvileg mindenki számára egyformán elérhető: az oktatásügy, az egészségügy, az igazságszolgáltatás, az államigazgatás stb.

Közlegelők tragédiája játék

Szimuláljuk az eredeti forgatókönyvet. Tegyük fel, hogy van 10 játékos. MIndenkitől megkérdezzük, hogy szimpla vagy dupla adagot kér-e ugyanabból, pl. gumicukorból. Egy adag 10 alapértelmezésben. A játékvezetőnek tehát fel kell készülnie arra, hogy legfeljebb 100 darab gimicukrot szét tudjon osztani. Variánsok:

  • Mindenki nyíltan dönt, rajtuk van a pszichológiai nyomás.
  • Mindenki titokban dönt, egyesével mennek oda a játékvezetőhöz. A játékvezető azt mondja meg, hogy hányan kértek szimpla és hányan dupla adagot. A jutalmat is így titokban osztja szét. (Itt érdemes előre leszögezni, hogy nem fogjuk firtatni, kik lehettek a "hunyók".)
  • A játékosok nem ismerik egymást.

Dollárárverés

TODO

Választék

TODO: nagy vs alacsony választék (akár pl. társkeresés)

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License