Matek

A matematika egy hatalmas terület, szinte képtelenség lenne olyan leírást készíteni, ami annak minden részét érdemben érinti. Így ezt meg sem kísérlem; ezen az oldalon furfangos, érdekes, különleges, sok esetben meglepő matekfeladatok és érdekességek találhatóak. Jó szórakozást!

Néhány gyűjtemény, ahonnan én is szemezgettem:

Feladatok

Ebben a fejezetben olyan feladatokat sorolok fel, amelyekhez kell egy furfangos ötlet.

Téglalapok száma a sakktáblán

Számoljuk meg azt, hogy hány téglalap van a sakktáblán!

Zsinór égetése

Van két zsinórunk, melyeket ha meggyújtunk, nem lineárisan fél-fél óra égnek el. Hogyan tudunk kimérni velük 45 percet?

A légy által megtett út

Van két vonat, az egyik 50 km/h, a másik 70 km/h sebességgel halad egymás felé. A vonatok 120 km-re vannak egymástól. Egy légy elindul a gyorsabb vonat felől a rövidebb vonat felé. Amikor eléri a lassúbb vonatot megfordul a gyorsabb vonat felé, és így tesz egészen az ütközésig. A légy sebessége 100 km/h. Mennyi utat tesz meg összesen a légy?

Lányok életkora

Kovácsnak van három lánya. Szabó, a barátja, szeretné tudni a lányok életkorát. A következő párbeszéd zajlik:
- Az életkoruk szorzata 72.
- Ebből még nem tudom megmondani.
- Az életkoruk összege megegyezik a házszámommal.
Szabó kimegy, megnézi a házszámot, majd ezt mondja:
- Még mindig nem tudom megmondani.
- A legidősebb szereti a vaníliafagyit.
- Most már tudom!

Hogy lehet, hogy a vaníliafagyiból tudta meg Szabó, hogy hány évesek Kovács lányai?

Százalékszámítás

Segédeszköz nélkül számold ki összesen 10 másodpercen belül az alábbiakat:

  • 75-nek a 4%-a
  • 50-nek a 18%-a
  • 25-nek a 64%-a

Almák és narancsok

Van három láda: az egyikben 10 darab alma, a másikban 10 darab narancs, a harmadikban pedig vegyesen 5-5 darab alma ill. narancs van. Mindhárom ládán van egy-egy címke: az egyiken egy alma, a másikon egy narancs, a harmadikon pedig egy alma és egy narancs. Csakhogy a címkék felcserélődtek: mindegyik ládán rossz címke van. A feladat az, hogy a címkét áthelyezzük a megfelelő ládára. Ehhez tetszőleges számú mintavételezést hajthatunk végre. Legalább hány mintavételezésre van szükség ahhoz, hogy biztosan meg tudjuk állapítani, melyik címkét melyik ládára kell tenni?

Melyik a nagyobb?

Melyik a nagyobb: $e^\pi$ vagy $\pi^e$? A feladathoz számológépet nem használhatunk, a Négyjegyű függvénytáblázatot viszont igen!

Melyik a nagyobb: $999999999^{1000000000}$ vagy $1000000000^{999999999}$?

Paradoxonok

Ide olyan feladatokat soroltam fel, amelyeknél a megoldás első hallásra igen meglepő. A paradoxon hatás tehát abban rejlik, hogy másra gondolunk mint a valóság.

Gyorsteszt

Tegyük fel, hogy van egy betegség, ami a világon egyenletesen elterjedt, és minden ezredik embert érinti. Van egy teszt, ami kimutatja a betegséget, és ez minden esetben 99% eséllyel ad helyes eredményt. Tehát akár azt mondja, hogy pozitív, akár azt, hogy negatív, a valószínűsége annak, hogy igazat mond, 99%. Egy pozitív teszt mekkora eséllyel jelent tényleges betegséget?

Járvány

Van egy járvány, minden ötszázadik ember beteg. Egy villamoson nyolcvanan utaznak. Mekkora az esélye annak, hogy van köztük legalább egy beteg?

Születésnap

Egy teremben van X ember. Mindenki bemondja a születési időpontját. Ha a teremben legalább 367 ember van, akkor 100% annak az esélye, hogy lesz két olyan ember, akiknek ugyanaz nap van a születésnapjuk. Egyetlen ember esetén nyilván 0. 2 ember esetén olyan 1/365. Vajon minimálisan hány embernek kell lennie a teremben ahhoz, hogy az esély elérje az 50%-ot?

Titkos angyal

Kisebb közösségekben (pl. egy iskolai osztályban) gyakran előfordul az a játék, hogy mindenki húz egy nevet, és a kihúzott személynek kell valamilyen titkos meglepetést készíteni. De vajon mekkora az esélye annak, hogy lesz olyan, aki magát húzza?

Fekete macska

Emlékszünk még Rózsa Gyuri vetélkedő játékára? Három, függönnyel eltakart ablak volt. Kettő mögött egy fekete plüssmacska volt, a harmadik mögött pedig egy ennél sokkal értékesebb ajándék. A játékos kiválasztott egy ablakot. Nem nyitották ki azonnal, hanem a játékvezető elhúzott egy másik függönyt, ahol biztos nem volt ajándék, és a játékosak még volt egy döntési lehetősége: marad az eredetileg választott ablak mellett, vagy megváltoztatja. Pusztán matematikailag mi a helyes stratégia: maradni, változtatni, vagy mindegy?

Távolság két ember között

Véletlenszerűen kiválasztunk egy embert a földön. Az a közvetlen ismerőseim 1 távolságra vannak tőlem (az ismerős alatt kölcsönös ismertséget feltételezünk), az ismerőseim ismerősei (akiket nem ismerek) 2 stb. akkor minimálisan körülbelül hány lépés távolságra van tőlem a kiválasztott ember?

0,99999…

A 0,99999… mennyivel kisebb mint 1?

Miből van több, páros számból vagy egész számból?

A páros számok: …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …. Az egész számok: …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Nyilvánvalóan kétszer annyi egész szám van mint páros szám. Vagy mégse?

Számjegyek előfordulása

Vegyük a következő játékot. Írjunk fel számokat ugyanarról a mennyiségről. Pl. vegyünk véletlenszerűen mondjuk ezer települést a világon, és írjuk fel a lakosainak a számát. Vagy menjünk be egy boltba, és írjuk fel az ott talált árakat (ez esetben értelemszerűen kerekítve, pl. a 299,95-öt 300-nak véve). Majd rendezzük 9 kupacba az így kapott számokat az első számjegye alapján. Milyen lesz az eloszlása ezeknek a kupacoknak?

Csőrepedés

Múltkor csőrepedés volt egy ismerősömnél. Kihívott egy embert, aki megoldotta a problémát. A kérdés: mi a valószínűbb: az, hogy a kihívott ember egy könyvelő, vagy az, hogy könyvelő és vízvezeték szerelő?

Bertrand doboza

Van három dobozunk, mindhárom két részből áll. Összesen tehát 6 rész van. Mindegyik részben arany vagy ezüst van, a következő eloszlásban:

  • Az első dobozban két arany van.
  • A másodikban egy arany és egy ezüst.
  • A harmadikban két ezüst.

Kihúzunk egy tetszőleges dobozt, azon belül kinyitjuk tetszőlegesen az egyik felét, és azt látjuk, hogy ott egy arany van. Mekkora eséllyel lesz a másik fele is arany?

Testvérek

Kovácséknak van két gyerekük, az idősebbik fiú. Mekkora eséllyel fiú a fiatalabb?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik fiú. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik egy olyan fiú, aki hétfőn született. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Kovácséknak van két gyerekük, közülük legalább az egyik egy olyan fiú, akinek a neve Gusztáv. Mekkora eséllyel fiú a másik?

Harmonikus sorozat

Ha megesszük egy tábla csoki felét, majd a maradék felét és így tovább, akkor a csoki "sose fogy el". Matematikailag felírva:

(13)
\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … = 1 \end{align}

(Elméletben is: valójában a végtelenben "elfogy".) De vajon mennyi lesz a következő sorozat végeredménye?

(14)
\begin{align} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + … \end{align}

Vajon a barátaink népszerűbbek mint mi?

Gyakran érezzük azt, hogy mintha nekünk fontosabbak lennének a barátaink, mint mi őnekik. Ez vajon így van?

A három halálraítélt

Van három halálraítélt: A, B és C, akik közül egy valakinek a kormányzó megkegyelmezett, de kettőt ki fognak végezni. A börtönőr tudja, hogy ki kapott kegyelmet, de nem mondhatja meg neki. Az egyik elítélt megkéri a börtönőrt a következőre: mondja meg, hogy a másik kettő közül kit fognak biztosan kivégezni. Ha mindkettőt (tehát ő maga az, aki kegyelmet kap), akkor fej vagy írással válasszon egyet véletlenszerűen. A börtönőr azt mondja, hogy a B rabot ki fogják végezni. Az elítélt így okoskodik: az ő esélye a menekülésre eredetileg 1/3 volt, de ezzel felment 1/2-re, mert vagy ő menekül meg, vagy a C.

Vajon jól gondolkodott? Ettől az információtól tényleg megnőtt az esélye a túlélésre?

Érdekességek

Fej vagy írás

Az egyik játékos megkéri a másikat, hogy szimuláljon 20 érmefeldobást, és véletlenszerűen írjon fejet vagy írást. Majd hajtsa végre ugyanezt tényleges feldobással. Az első játékos megpróbálja kitalálni, hogy melyik sorozat volt a tényleges. Vajon sikerül neki? Van-e 50%-nál nagyobb esélye erre?

Tojások forgatása

Egy tojástartóban van 10 festett tojás, némelyikük fejjel lefelé, némelyikük fejjel felfelé. Két játékos a következő játékot játssza: felváltva lépnek, a soron levő játékosnak ki kell választani egy fejjel lefelé fordított tojást, és meg kell fordítani azt is és az összes tőle jobbra esőt. Az veszít, aki nem tud lépni. Mi a nyerő stratégia?

2 = 3

Tekintsük a következő levezetést!

a=b+c
3a-2a = 3b-2b + 3c-2c
3a-3b-3c = 2a-2b-2c
3(a-b-c) = 2(a-b-c)
3 = 2

De ez hogy lehet?!

Mérési skálák

Ebben a szakaszban nem feladatról, hanem egy elméletről van szó, amit Stanley Smith Stevens javasolt egy 1946-os cikkében. Ez a az osztályozásokat 4 csoportba osztja aszerint, hogy milyen műveleteket lehet velük végrehajtani.

A leírásban azt adom vissza, ahogy én megértettem. Számomra a sorrend logikusabb fordítva, mint a szokásos megadás, így ennek alapján adom meg, valamint számora logikusabb elnevezéseket adtam. Másik megközelítést találhatunk a Wikipédia megfelelő oldalain:

Arányskála

Van nullpontja, és értelmezettek rajta az alapműveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás). Ez implicit magába foglalja a sorba rendezhetőséget is: tudjuk, hogy melyik a nagyobb.

A hétköznapi életből példaként vegyük a tömeget! Állíthatjuk az alábbiakat:

  • A 6 kg és a 3 kg különböző.
  • A 6 kg több mint a 3 kg.
  • A 6 kg és a 3 kg különbsége ugyanakkora, mint a 8 kg és az 5 kg különbsége.
  • A 6 kg kétszer akkora, mint a 3 kg.

További példák: idő, hossz, áramerősség.

Az aranyskála sok esetben nem lineáris, hanem logaritmikus. Ezt esetben az összeadás és kivonás nehézkes, a hányados képzés viszont leegyszerűsödik. Ilyen skála pl. a hangerő skála, amit decibelben (dB) szoktuk megadni. A dB valójában egy dimenzió nélküli érték. Jelentése a következő: egy Bel (B) azt jelenti, hogy valami egy másik érték tízszerese. Mivel a deci tizedet jelent, 10 dB jelenti azt, hogy az egyik érték a másik tízszerese. A skálának tehát kell, hogy legyen egy alapja, ami a hang esetén a hallásküszöb ($10^{-12}W/m^2$). Az, hogy az egyik hangerősség 80dB, a másik meg 60dB, azt jelenti, hogy az előző százszor akkora hangerő mint az utóbbi.

Intervallum skála

Nincs nullpontja, ezáltal a szorzás és az osztás sem értelmezett. De a különbségképzés igen, valamint a különbségképzésre visszavezetett összeadás is, és a különbségek összehasonlíthatóak.

A hétköznapi értelembe vett hőmérséklet ebbe a kategóriába tartozik. (A tudományos értelembe vett hőmérséklet nem, mert ott van abszolút nullpont, ezáltal az arányskála kategóriába tartozik, de most ettől tekintsünk el, és a hétköznapi tapasztalatot vegyük alapul.) Állíthatjuk az alábbiakat:

  • A 6°C és a 3°C különböző.
  • A 6°C melegebb (több) mint a 3°C.
  • A 6°C és a 3°C különbsége ugyanakkora, mint a 8°C és az 5°C különbsége.

De nem mondhatjuk a következőt: a 6°C kétszer akkora, mint a 3°C.

Ez utóbbi talán nem világos elsőre, ezért nézzük meg egy kicsit részletesebben! Tekintsünk más mértékegységet! Az arányskálában bemutatott mondatokat át lehet alakítani mondjuk fontba, és (az egyszerűség érdekében az 1 kg-ot 2 fontnak véve) van értelme annak, hogy "a 12 font kétszer akkora, mint a 6 font", és a többi is igaz. De vajon ez alkalmazható-e pl. a Fahrenheit-ra? Lássuk!

  • A 42,8°F és a 37,4°F különböző: ez igaz.
  • A 42,8°F több mint a 37,4°F: ez is igaz.
  • A 42,8°F melegebb (több) mint a 37,4°F: szintén igaz.
  • A 42,8°F kétszer akkora, mint a 37,4°F: ez nyilván nem igaz! Pedig igaznak kellene lennie, ha az az állítás, hogy a "6°C kétszer akkora, mint a 3°C" igaz lenne.

A fentiek alapján tehát a hétköznapi értelembe vett hőmérséklet intervallum skála, de nem arányskála. A tudományos értelembe hőmérséklet esetében - mivel van 0 pontja - lehet kétszerezni, és a 3°C kétszerese közel 280°C, mivel először a 3°C-ot átalakítjuk Kelvinbe (275,15°K), azt megszorozzuk kettővel (552,3°K), majd visszaalakítjuk Celsiusszá (279,15°C).

Egyfajta intervallumskála még az IQ.

Sorrendi skála

A szorzáson és az osztáson túl az összeadás és a kivonás sem értelmezett, viszont sorba rendezhető. Ennél fogva bizonyos statisztikai mérőszámok is (többnyire) értelmezettek, mint pl.:

  • Legkisebb ill. legnagyobb elem.
  • Medián.
  • Gyakoriság.

Példaként vehetjük a katonai rendfokozatokat! Állíthatjuk az alábbiakat:

  • Az altábornagy és a főtörzsőrmester rendfokozat különböző.
  • Az altábornagy magasabb rendfokozat (azaz több) mint a főtörzsőrmester.

Viszont nem képezhetjük a rangfokozatok különbségét, ill. azokat nem tudjuk összehasonlítani. Pl. nem tudjuk megállapítani, hogy melyik két rang között nagyobb a különbség: a dandártábornok és a főhadnagy, vagy az alezredes és a főtörzszászlós. És természetesen olyasmit sem mondhatunk, hogy a százados ötször nagyobb rendfokozat, mint a szakaszvezető.

A statisztikai példáknál, a Magyar Honvédségnél az írás pillanatában alkalmazott rendfokozatokkal kapcsolatban:

  • A legalacsonyabb rendfokozat az őrvezető (ill. az alatti a közkatona, ami rendfokozat nélküli), a legmagasabb pedig a vezérezredes. (Magyarországon nincs tábornagy és marsall sem, amelyek magasabb katonai rendfokozatok.)
  • A fentieket figyelembe véve 19 rendfokozat van, melynek mediánja a 10. elem, ami a hadnagy.
  • A megfelelő minisztériumban pontosan tudják, hogy melyik rendfokozattal hány ember rendelkezik.

További példák: betegségek előrehaladottsági mértékei, ásványok keménysége.

Kategória skála

Semmilyen művelet nem értelmezhető, még a sorba rendezhetőség sem. De két elem között különbséget tudunk tenni.

Példaként vegyük az állampolgárságot! Mondhatjuk, hogy állampolgárságát tekintve külön kategóriába esik a magyar állampolgár, és mondjuk az osztrák-német kettős állampolgár, de nem tudjuk sorba rendezni őket: nincs közöttük egyértelmű sorrendiség. Nem értelmezett a legkisebb elem és legnagyobb elem fogalma sem, így a medián sem. Nyilván nem tudunk különbséget képezni, és szorozni sem.

A statisztikában viszont gyakoriság képezhető: elvileg megállapítható, hogy hány magyar állampolgár van, ahogy az osztrák-német kettős állampolgárok száma is. Ez alapján nyilván sorba rendezhető, de ez nem képez minőségi sorrendet.

Játékelmélet

Fogolydilemma

TODO

A közlegelők tragédiája

TODO

Dollárárverés

TODO

Választék

TODO: nagy vs alacsony választék (akár pl. társkeresés)

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License